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Primitives ...

Posté par Mandine (invité) 26-08-05 à 22:21

Bonjour !
Voilà y'a deux primitives que j'arrive pas à faire :
- primitive de g : x --> \frac{1}{x+\sqrt{2x \times (1-x)}}
- primitive de h : x --> \frac{1}{\sqrt[3]{x^3-x^2}}

Pour g, on nous conseille le changement de variable u= \sqrt{\frac{1-x}{x}}

merci

Posté par aicko (invité)re : Primitives ... 27-08-05 à 00:09

g(x)= \frac{1}{x+\sqrt{2x(1-x)}}=\frac{1}{x+abs(x)\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}}

soient a>0,t0

G(t)=\int_a^{t}\frac{1}{x+abs(x)\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}}}dx=\int_a^{t}\frac{1}{x+x\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}}}dx=\int_a^{t}\frac{1}{x(1+\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}})}dx


posons u=1+\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}} avec x=\frac{2}{2+(u-1)^2}
du= \frac{\sqrt{2}}{2}({\frac{1-x}{x}})^{\frac{-1}{2} (\frac{-1}{x^2})dx=-\frac{1}{u-1}\frac {(2+(u-1)^2)^2}{4}dx

donc
G(t)=\int_a^{t}\frac{1}{x(1+\sqrt{2\frac{(1-x)}{x}})}dx=\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}} -\frac{1}{u\frac{2}{2+(u-1)^2}\frac{1}{u-1}\frac {(2+(u-1)^2)^2}{4}} du=\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}\frac{-2(u-1)}{u(2+(u-1)^2)}du
=\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}  \frac{2}{3u}-\frac{2}{3}\frac{u+1}{2+(u-1)^2}du
=\frac{2}{3} [\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}} \frac{1}{u}du-\int_0^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}\frac{u-1+2}{2+(u-1)^2}du]
=\frac{2}{3} [\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}} \frac{1}{u}du-\int_0^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}\frac{u-1}{2+(u-1)^2}du-\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}\frac{2}{2+(u-1)^2}du ]

=\frac{2}{3}ln(1+\sqrt{2\frac{1-t}{t}) -\frac{1}{3} ln(\frac{t-1}{2+(t-1)^2})-\int_a^{1+\sqrt{2\frac{(1-t)}{t}}}\frac{2}{2+(u-1)^2}du

il reste plus qu'a calculer la derniere integrale

Posté par aicko (invité)re : Primitives ... 27-08-05 à 00:21


une primitive de
\frac{2}{2+(u-1)^2}=\frac{1}{1+(\frac{u-1}{{\sqrt{2}}})^2}
est
\sqrt{2}arctan(\frac{u-1}{\sqrt{2}})


G(t)= \frac{2}{3} ln(1+\sqrt{\frac{2(1-t)}{t}})-\frac{1}{3}ln(\frac{t-1}{2+(t-1)^2})-\sqrt{2}arctan(\frac{t-1}{\sqrt{2}})+ K  (K reel)


voilà veuillez me corriger si erreur s'est glissée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Primitives ... 27-08-05 à 00:28

Bonsoir Mandine;
pour une primitive de g j'ai déjà posté une réponse dans le topic "Une primitive avec des cosinus et des chgts de variables..."posté par jmix90 le 18/08/2005 à 19:13 je trouve que la primitive de g qui s'annule en 0 est:
3$\blue\fbox{G:[0,1]\to\mathbb{R}\\x\to\frac{2}{3}[arcsin(sqrt{x})+ln(sqrt{\frac{x}{2}}+sqrt{1-x})]}
obtenue par le changement de variables t\to sin^2(t)
Sauf erreur

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Primitives ... 27-08-05 à 05:08

Tiens,le post d'aicko donne à douter je vais refaire mon calcul:
avec t=sin^2(u),u\in[0,\frac{\pi}{2}] on a que
G(x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{t+sqrt{2t(1-t)}}=2\int_{0}^{arcsin(sqrt{x})}\frac{cos(u)du}{sin(u)+\sqrt{2}cos(u)}=2I(x)
posons alors J(x)=\int_{0}^{arcsin(sqrt{x})}\frac{sin(u)du}{sin(u)+\sqrt{2}cos(u)} on voit que:
2$\fbox{\{{sqrt{2}I(x)+J(x)=arcsin(sqrt{x})\\I(x)-sqrt{2}J(x)=[ln(sin(u)+sqrt{2}cos(u))]_{0}^{arcsin(sqrt{x})}=ln(sqrt{x}+sqrt{2}sqrt{1-x})-ln(sqrt{2})}
d'où:3I(x)=sqrt{2}arcsin(sqrt{x})+ln(sqrt{\frac{x}{2}}+sqrt{1-x})) et donc que:
3$\red\fbox{G(x)=\frac{2}{3}[sqrt{2}arcsin(sqrt{x})+ln(sqrt{\frac{x}{2}}+sqrt{1-x})]}
dans mon premier post j'avais oublié un sqrt{2} devant l'arcsinus

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Primitives ... 27-08-05 à 09:36

h(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^3-x^2}} = \frac{1}{x\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}}

Poser \frac{x-1}{x} = t^3

\frac{x-1-x}{x} = t^3 - 1

-\frac{1}{x} =  t^3 - 1

x = -\frac{1}{t^3-1}

dx = \frac{3t^2}{(t^3-1)^2}\ dt

\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^3-x^2}} dx = -3\int \frac{t}{t^3-1} dt

Et cela est alors facile...

Vérifie mes calculs avant de continuer.

Posté par jmix90 (invité)re : Primitives ... 30-08-05 à 18:46

Bonjour J-P (Correcteur),

Pour moi ce n'est pas facile la suite... Hihi j'ai vérifié tes calculs comme tu l'as dit, mais je ne vois pas comment calculer la dernière expression que tu trouves...

Toi ou quelqu'un d'autre pourrait m'expliquer ?

Merci !

Posté par
cinnamonre : Primitives ... 30-08-05 à 18:48

Salut,

jmix90 pour la suite, pense à faire une décompostion en éléments simples...


Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Primitives ... 30-08-05 à 19:12

Coup de pouce supplémentaire.

t/(t³-1) = t/((t-1)*(t²+t+1))

t/(t³-1) = A/(t-1)   + (Bt+C)/(t²+t+1)

t = A(t²+t+1) + (Bt+C).(t-1)

En identifiant les 2 membres:

A + B = 0
A - B + C = 1
A - C = 0

--> A = C = 1/3 et B = -1/3

t/(t³-1) = (1/3).[1/(t-1) - (t-1)/(t²+t+1)]

t/(t³-1) = (1/3).[1/(t-1) - (1/2)(2t+1)/(t²+t+1) + (3/2). 1/(t²+t+1)]

t/(t³-1) = (1/3).[1/(t-1)] - (1/6).[(2t+1)/(t²+t+1)] + (1/2).[1/(t²+t+1)]

Maintenant cela devrait aller ...
-----
Sauf distraction.  

Posté par jmix90 (invité)re : Primitives ... 30-08-05 à 19:25

Oui, merci j'etais en train de le faire, mais tu viens de m'apprendre une nouvelle méthode, cool !

Merci


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