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Niveau terminale
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Primitives 6

Posté par
Samsco 07-05-20 à 16:22

Bonjour j'ai besoin de votre aide pour la d)

Exercice :

Dans chacun des cas suivants , déterminer la primitive F de la fonction f sur l'intervalle K , qui vérifie la condition indiquée.

a)f(x)=\sin x.\cos x ~~K=\mathbb{R}~et~F(\pi/2)=1 \\
f est sous la forme u'u
F(x)=\dfrac{1}{2}\sin²x+c \\ \\ F(\pi/2)=1 \iff 1/2 + c=1 \iff c=1/2
La primitive de f sur R qui vérifie F(π/2)=1 est la fonction F(x)=(1/2)sin²x+ 1/2

b)f(x)=\cos x.\sin ^5x~~K=\mathbb{R}~et~F(0)=3
f est sous la forme u'u^5
F(x)=\dfrac{1}{6}\sin^6x+c \\ \\ F(0)=3 \iff c=3
La primitive de f sur R qui vérifie F(0)=3 est la fonction F(x)=(1/6)sin^6x+3

c)f(x)=2x.\sin x²~~K=\mathbb{R}~et~F(0)=2
f est sous la forme u'sin u
F(x)=-\cos x²+c \\ \\ F(0)=2 \iff -1+c=2 \iff c=3
La primitive de f sur R qui vérifie F(0)=2 est la fonction F(x)=-cos x²+3

d) f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin(2x)}~~K=]0~;~\pi[~et~F(\pi/2)=3

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 16:43

Salut
\forall{x}\in\mathbb{R},sin(2x)=2sin(x)cos(x)

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 16:44

salut
pour la d tu es sur que c'est pas sin²x en bas au lieu de sin(2x) ?
parce que sin (2x)= 2sin x  cosx  donc tu simplifies les cos  et il te reste à trouver la primitive de 0.5 (1/sinx) ... ce qui va pas être facile

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 16:46

Salut ciocciu

Ah oui je n'ai pas vu son niveau qu'il n'avait pas encore vu les changement de variable.

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 16:51

salut ryanprepa
oui primitive de 1/sinx on peut s'en sortir sans degainer tan(x/2) mais ça risque d'être chaud pour un terminale

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:06

bonjour Ryanprepa et  ciocciu

il semblerait  que  les changements de variables soient réinsérés dans les pgm de terminale, mais peut être à vérifier?

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:16

Bonsoir je ne me suis pas trompé c'est bien sin(2x)

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 17:16

ah ...ok ...merci Pirho ...

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 17:18

ok samsco ....allons y
donc tu remplaces sin2x par 2sinx cosx et il te reste 1/(2sinx)  ok?

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:19

ciocciu à Samsco de dire ce qu'il connait dans tout ça!

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 17:20

toi il te faut faire apparaitre du cos x   pour utiliser u'u ou u'/u
donc mulitiplies en haut et en bas par sin x et fais apparaitre du cos là où c'est possible

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 17:22

Pirho ...on peut s'en sortir sans changement de variable ...je crois

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:24

ça m'étonnerait car je pense qu'il n'y a que 2 façons de trouver la solution, mais bon...

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 17:29

Moi je sèche sans changement de variable.
Samsco les as-tu déjà étudiés ???

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 17:31

ah il est toujours possible que ce soit faux ce que j'ai en tête .....

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:31

Ryanprepa @ 07-05-2020 à 17:29

Moi je sèche sans changement de variable.
Samsco les as-tu déjà étudiés ???


je confirme, il faut passer par un changement de variable

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:37

Ryanprepa @ 07-05-2020 à 17:29

Moi je sèche sans changement de variable.
Samsco les as-tu déjà étudiés ???

Non!

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:38

Samsco

alors c'est sin²(x) au dénominateur!

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:38

\dfrac{\cos x}{\sin 2x}=\dfrac{1}{2\sin x}

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 17:39

Revérifie c'est que dit Pirho.
Sinon ce sont des exercices d'internet ou de ton prof ?

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:40

Pirho @ 07-05-2020 à 17:38

Samsco

alors c'est sin²(x) au dénominateur!

Non

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:41

réponds à la question de Ryanprepa

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:41

Ryanprepa @ 07-05-2020 à 17:39

Revérifie c'est que dit Pirho.
Sinon ce sont des exercices d'internet ou de ton prof ?

De mon livre

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:41

alors il y a une erreur de frappe dans ton livre!

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:44

Pirho @ 07-05-2020 à 17:41

alors il y a une erreur de frappe dans ton livre!

Je ne crois pas

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 17:46

il me semble que tu n'as pas encore les outils pour résoudre l'exercice

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 17:47

Ah mais vous pouvez me montrer ?

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 18:01

Ben avec le changement de variable t= cos (x) qui découle des règles de Bioches que tu verra peut-être plus tard.

\int \frac{1}{\sin x} d x=-\int \frac{1}{1-t^{2}} d t=-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t+1}{t-1}\right|=-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x+1}{\cos x-1}\right|

Puis tu multiplie par 1/2.
Tu peux encore simplifier pour faire apparaître du tan(x/2) mais bon ça va te compliquer la tâche c'est déjà bien ça si tu le dérive tu retombe bien sur plus haut.

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 18:16

Ryanprepa

même dans la 1ère méthode il faut passer par une décomposition en fractions rationnelles qui n'est sans doute pas encore étudiée

ou voir que \dfrac{1}{1-t^2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1+t+1-t}{(1+t)(1-t)}

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 18:19

Ah oui désolé j'ai été un peu vite.
C'est pas vraiment un exo de terminale ça..il mélange plein de choses de première année post-bac

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 18:23

excusez moi je me permets d'insister
pas obligatoire le changement de variable
1/sinx =sinx/sin²x= sinx/(1-cos²x)= sinx/(1-cox)(1+cosx)  
et là il faut être hyper rusé (ou avoir déjà fait le truc )
=( 1/2)sinx/(1-cosx) +(1/2)sinx/(1+cosx)
et là on a du u'/u

pour samsco attention toi tu arrives à 1/2sinx  donc y'a un coeff 1/2 devant

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 18:29

J'ai pas compris le

\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\dfrac{1/2.\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{1/2.\sin x}{1+\cos x}

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 18:40

he bien pars du membre de droite et remets au mm dénominateur

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 18:52

Vue que la démonstration se fait de la droite vers la gauche , je crois qu'il vaut mieux savoir comment passer du membre de gauche à celui droite .

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 19:11

ciocciu c'est vrai qu'en terminale ça marche, c'set en fait une décomposition sans dire son nom ;au temps pour moi!

j'ai toujours résolu en écrivant

\dfrac{1}{sin(x)}=\dfrac{sin(x)}{1-cos^2(x)} et ensuite en décomposant en fractions simples comme dans mon post de 18:16

ou mieux en posant tan(\dfrac{x}{2}) =u   ce qui donne le résultat plus rapidement mais j'aurais pu utiliser l'astuce de la décomposition donnée dans mon post mais je n'y ai jamais pensé

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 19:12

c'est ...

Posté par
Ryanprepare : Primitives 6 07-05-20 à 19:15

Pirho Oui mais bon pour trouver la décomposition c'est pas au niveau de n'importe quel terminal

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 19:32

Sinon

\dfrac{1}{2}*\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x})=f(x) \\ \\ F(x)=\dfrac{1}{4}\ln(1-\cos x)+\dfrac{1}{4}\ln(1\+cos x)

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 19:34

J'ai oublié "c"

\dfrac{1}{2}*\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x})=f(x) \\ \\ F(x)=\dfrac{1}{4}\ln(1-\cos x)+\dfrac{1}{4}\ln(1+\cos x)+c~(x\in \mathbb{R})

Posté par
ciocciure : Primitives 6 07-05-20 à 20:30

erreur de signe dans ta primitive
ça devrait plutôt être  ln () - ln()

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 20:33

Oui je vois

\dfrac{1}{2}*\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x})=f(x) \\ \\ F(x)=\dfrac{1}{4}\ln(1-\cos x)-\dfrac{1}{4}\ln(1+\cos x)+c~(c \in \mathbb{R})

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 20:36

ciocciu comme Samsco est curieux il pourrait voir comment faire apparaître

tan(\dfrac{x}{2})   dans son résultat

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 20:49

Pirho @ 07-05-2020 à 20:36

ciocciu comme Samsco est curieux il pourrait voir comment faire apparaître

tan(\dfrac{x}{2})   dans son résultat

Oui je voudrais bien

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 20:51

transforme 1-cos(x) et 1+cos(x) et ta différence de ln

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 21:08

Pirho @ 07-05-2020 à 20:51

transforme 1-cos(x) et 1+cos(x) et ta différence de ln

Je ne comprend pas
Transformer pour trouver quoi ?

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 21:13

pour faire apparaître tan(\dfrac{x}{2})

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 22:05

\dfrac{1}{4}\ln(1-\cos x)-\dfrac{1}{4}\ln(1+\cos x) \\ \\ =\dfrac{1}{4}\ln(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}) \\ \\

Posté par
Pirhore : Primitives 6 07-05-20 à 22:13

\large x=2\,\dfrac{x}{2}

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 22:45

\dfrac{1}{4}\ln(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}) \\ \\ =\dfrac{1}{4}\ln(\dfrac{1-\cos (2\frac x 2)}{1+\cos(2\frac x 2 )}) \\

Posté par
Samscore : Primitives 6 07-05-20 à 22:53

Posons x/2 =a

\dfrac{1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)} \\ \\ =\dfrac{1-2\cos²a+1}{1+1-2\sin²a} \\ \\ =\dfrac{-2\cos²a}{2(1-\sin²a)} \\ \\ =\dfrac{-\cos²a}{\cos²a} \\ \\ =-1

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