pour le 1 essai une intégration par parties en prenant u(x)=arctan(x) et v'(x)=1

1°) Par parties.

Poser arctg(x) = u --> dx/(1+x²) = du
et poser dx = du --> x = v




-----

Zut dans ma réponse précéente, lire
dx = dv--> x = v
...

ok! Merci bien pour ça!
Et en ce qui concerne les autres, comment faire svp?

3°)

Poser x = tg(t)
1+x² = 1/cos²(t)

dx = 1/cos²(t) dt

[1/(1+x²)²] dx = [cos^4(t)/cos²(t)]dt

[1/(1+x²)²] dx = cos²(t) dt

[1/(1+x²)²] dx = (1/2).(1+cos(2t)) dt

S [1/(1+x²)²] dx = (1/2).S (1+cos(2t)) dt

S [1/(1+x²)²] dx = (1/2).(t + (1/2).sin(2t))


S [1/(1+x²)²] dx = t/2 + (1/4).sin(2t)


Avec t = arctg(x)

S [1/(1+x²)²] dx = (1/2).arctg(x)) + (1/4).sin(2.arctg(x))
-----

On peut bien entendu trifouiller sin(2.arctg(x)) pour le rendre plus joli.

-----
Sauf distraction.  

Bonjour
2°)
int=
I = int [x(arctan²x)]  = (x².arctan²x)/2 - int [x².(arctan x)/(x²+1)( par parties)  =>
I = (x².arctan²x)/2 - int [(x²+1-1)(arctan x)/(x²+1)]  =>
I = (x².arctan²x)/2 - int [arctan x] + int[(arctan x)/(x²+1)]
I = (x².arctan²x)/2 - x.arctan x + ln(x²+1)/2 + int[(arctan x)/(x²+1)] d'après le résultat  du 1) ;
dans la dernière I2= int[(arctan x)/(x²+1)] on pose arctan x = t => dx/(x²+1) = dt => I2 = int t.dt = t²/2 = (arctan x)²/2  =>
*
I = (x².arctan² x)/2 - x.arctan x + ln(x²+1)/2 + (arctan² x)/2  =>
*
I = ((x²+1).(arctan²x)/2 - x.arctan x + (ln(x²+1))/2

3°) = (arctan x)/2 + x/(2(x²+1))

A plus

Après relecture, je pense avoir tout bien saisi!
Merci geo3,J-P et Youpi, vous m'avez été fort utile!
Bonne soirée à vous tous!