Niveau Maths sup

primitives de x²/sqrt(1-x²)

Posté par dilzydils (invité) 22-04-06 à 11:41

Bonjour

Je vois bien que 1/sqrt(1-x²) est la derivée de arcsin, donc ipp.. mais je n'aboutis pas au resultat..

merci de votre aide

Posté par re : primitives de x²/sqrt(1-x²) 22-04-06 à 11:49

Mais si, l'IPP marche et donne bien :
-(1/2)x*racine(1-x²)+(1/2)arcsin(x)

Posté par re : primitives de x²/sqrt(1-x²) 22-04-06 à 11:50

Salut dilzydils ...

Utilises :

x^2/(1-x^2) = 1/(1-x^2) - (1-x^2)/(1-x^2) = 1/(1-x^2) - (1-x^2) ...

Et primitive le second terme à l'aide d'un changement de variable ...

Matouille2b

Posté par Alev50 (invité)re : primitives de x²/sqrt(1-x²) 22-04-06 à 12:23

$J = \int \frac{x^2}{sqrt(1-x^2)}$
   $= -\int x\frac{-2x}{2sqrt(1-x^2)}$
   $= -x sqrt(1-x^2) + \int sqrt(1-x^2)$
   $= -x sqrt(1-x^2) + I$

$J = \int -\frac{1-x^2}{sqrt(1-x^2)} + \frac{1}{sqrt(1-x^2)}$
   $= -\int sqrt(1-x^2) + arcsin(x)$
   $= -I + arcsin(x)$

$2I = arcsin(x) + x sqrt(1-x^2)$
$I = \frac{1}{2}arcsin(x) + \frac{1}{2}x sqrt(1-x^2)$

$J = \frac{1}{2}arcsin(x) - \frac{1}{2}x sqrt(1-x^2)$

Posté par reprimitivesde x^2/sqrt(1-x^2) 22-04-06 à 14:11

Bojout!
Obs; |x|<1 x=sint dx =costdt et en fine I= $\int sin^2t dt=\int\frac{1-cos2t}{2}dt . \frac{{-\pi}}{2}<t<\frac{\pi}{2}$ Succes!

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