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Primitives de sin(a)sin(b)

Posté par
Pierre_07 07-12-14 à 12:06

Bonjour,

J'ai un exercice ou l'on doit résoudren=0;+ [Cn( sin(nx /L)*sin(mx/ L)dx] entre 0 et L et la correction me dit que c'est égal à (L/2)*Cm

Mon problème repose surtout sur le fait que je n'arrive pas à trouver les primitives de sin(a)sin(b) ... Si quelqu'un peut m'aider, je serais reconnaissant,

Merci.

Posté par
GGennre : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 12:09

connais tu les formules de transformation de produit en somme ?

Posté par
Gabylunere : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 12:32

Sin(a)sin(b)=\dfrac{cos(a-b)-cos(a+b)}{2}

Posté par
GGennre : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 13:14

sais tu intégrer cos(a-b) et cos(a+b)  ??

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 14:52

J'ai bien peur de ne pas y arriver non...

Posté par
Gabylunere : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 15:21

Voila le début:\int_{0}^{L} cos(ax-b)=\dfrac{sin(a-b)}{a} d'après la primitive de cos(ax-b).

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:03

Ok j'arrive bien a ce resultats mais maintebant j'ai un probleme car a= n/L du coup 1/a n'a pas de valeurs pour n=m en particulier n=0 m=0

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:03

Autant pour moi a=n-m

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:05

A=(n-m)/L désolé j'écris depuis mon telephone je suis a la bibliotheque.

Posté par
Gabylunere : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:32

Ok, pas grave. Si n=m,a=0,impossible. Tu dois juste exclure ce cas.

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:48

Oui mais dans ce cas la je ne comprend pas pourquoi c'est egal a (L/2)Cm

Posté par
Gabylunere : Primitives de sin(a)sin(b) 07-12-14 à 16:58

Donne ton résultat final,et je remarque que C_{m} n'apparaît pas dans ton énoncé.

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 15:55

En fait j'ai dans la correction:

$\sum_{n=0}^\infty$ C_n $\int_0^L \sin(\frac{nx\pi}{L})\sin(\frac{mx\pi}{L}) \, \mathrm dx$

qui donnerait finalement

\frac{L}{2} $\sum_{n=0}^\infty$ C_n\delta_n_m

puis finalement

\frac{L}{2} C_m

et avec mes calculs j'arrive à

$\sum_{n=0}^\infty$ $\frac{L}{2}$ $\int_0^L \frac{\sin(\frac{(n-m)x\pi}{L})}{(n-m)\pi}-\frac{\sin(\frac{(n+m)x\pi}{L})}{(n+m)\pi} \, \mathrm dx$

Du coup je comprend pas trop comment on peut avoir \delta_n_m alors que si n=m la fonction n'est pas définie...

Posté par
Robotre : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 16:16

D'où sors-tu ces dénominateurs ?

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 17:24

de \sin(a)\sin(b)=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2} puis de $\int \cos(ax+b) \, \mathrm dx$= $\frac{\sin(ax+b)}{a}$

Posté par
Robotre : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 17:40

Tu es sûr de \int \cos(ax+b) \, \mathrm dx= \dfrac{\sin(ax+b)}{a}$ si a=0 ?

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 17:42

c'est justement mon problème... je ne sais pas comment dissocier les deux cas pour obtenir le \delta_n_m

Posté par
Robotre : Primitives de sin(a)sin(b) 08-12-14 à 18:03

M'enfin ? Redescends sur terre !

Si a=0, on a \cos(b) qui est une constante. Tu sais bien intégrer une constante, non ?

Ici, en l'occurence, \sin\left(\dfrac{nx\pi}{L}\right)\sin\left(\dfrac{mx\pi}{L}\right) = \dfrac{1}{2} \left(\cos\left(\dfrac{(m-n)x\pi}{L}\right) - \cos\left(\dfrac{(m+n)x\pi}{L}\right)\right)
et l'intégrale de ces bazars sur [0,L] est nulle, sauf l'intégrale (pour n=m) de \cos\left(\dfrac{(m-m)x\pi}{L}\right)=\cos(0)=1, qui vaut L.

Posté par
Pierre_07re : Primitives de sin(a)sin(b) 09-12-14 à 18:08

Ok mais cos est périodique modulo 2 du coup quand n=m on a les 2 cosinus qui s'annulent?! exemple n=m=2 on a cos((n-m))=1 et cos(2m)=1 aussi du coup l'intégralle est toute le temps nulle... Où est mon erreur please

Posté par
Robotre : Primitives de sin(a)sin(b) 09-12-14 à 18:13

Ton erreur est dans le fait que tu fais trop d'à peu près. Quand n=m=2,   \cos\left(\dfrac{(m+n)x\pi}{L}\right)\right)  n'est surement pas égal à \cos(2m\pi). Essaie de faire les choses sérieusement !


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