salut

je ne comprends pas cette phrase :

Bonjour !

carpediem La propriété de Darboux nous dit que si f' est la fonction dérivée d'une fonction f, que , que , alors tel que . Autrement l'image d'un intervalle par une fonction dérivée et un intervalle. En fait c'est exactement comme le TVI sauf qu'il n'exige pas que la fonction soit continue, seulement qu'elle soit une dérivée.
Or si on prend une fonction continue par morceaux discontinue en un point telle que par exemple et avec   alors clairement tout nombre compris entre A et B ne possède aucun antécédent. Donc une telle fonction ne peut vérifier la propriété de Darboux. Pourtant elle est continue par morceaux et donc supposée posséder une primitive dont elle serait la dérivée, ce qui est contradictoire avec le fait qu'elle ne possède pas la propriété de Darboux que toutes les dérivées sont supposées avoir.

luzak Merci pour ta réponse. Oui je sais que la partie entière ne possède pas de primitive, et c'est justement parce qu'elle ne possède pas la propriété de Darboux.
Et je commence à comprendre effectivement que lorsque l'on dit que les fonctions continues par morceaux ont des primitives, ce sont des sortes de "primitives par morceaux". Ces fonctions possèdent-elles un nom puisqu'elles ne sont pas de vraies primitives ?
En fait ce qui m'a induit en erreur, c'est l'article de Wikipédia sur les primitives qui dit "Toute fonction réelle continue sur un intervalle, voire continue par morceaux, admet une primitive.", ce qui du coup n'est pas totalement vrai...

la fonction f représentée sur le graphique de vérifie la propriété de Darboux

il existe une fonction F tel que pour tout x : F'(x) = f

ce qui n'est pas le cas de la fonction donnée par luzak comme il le dit ...

carpediem Merci pour votre réponse.
Il y a alors peut-être quelque chose que j'ai mal compris dans le théorème de Darboux, mais il ne me semble pas que la fonction continue par morceaux que vous me montrez (sur wikipédia) ne vérifie pas cette propriété :
En effet, en supposant que cette fonction (appelons la f) soit la dérivée d'une fonction F (ce qu'elle devrait être puisque étant continue par morceaux elle est supposée avoir une primitive), alors sur l'intervalle [-1,1; -0.9] par exemple il n'existe aucun antécédent du nombre 0,5 bien que celui-ci soit visiblement compris entre f(-1,1) et f(-0,9).

Pour certains (en particulier débutants) une primitive de sur un intervalle est une fonction dérivable en tout point de dont la dérivée vaut .

On a trouvé plus utile de proposer cette définition (Bourbaki) :
doit être continue sur , dérivable en tout point de privé d'un ensemble dénombrable et  .

Pour une fonction continue par morceaux la primitive obtenue est dérivable sauf sur une partie finie mais, pour autant, la fonction continue par morceaux n'est pas une fonction dérivée au sens strict et peut ne pas vérifier la propriété de Darboux.

Plus simplement que mon exemple de "partie entière" il suffit de prendre sur .

Je vois. Dans ce cas peut-on considérer que la fonction pourrait être une sorte de primitive de la fonction partie entière sur un intervalle I borné ? Dans la mesure où elle est continue et dérivable sauf sur un ensemble fini de points (puisque I est borné).

Cela me semble correct.

il me semble que ça marche aussi avec un nombre de points infini dénombrable et sans point d'accumulation ...

(ou encore la distance entre deux points d'accumulation quelconques est minorée par un réel k strictement positif)

luzak carpediem Merci pour vos réponses.

de rien