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Primitives n-ièmes...?

Posté par Yaya13 (invité) 01-04-05 à 20:41

Bonsoir,
Je rencontre de gros soucis avec cet exercice. Si quelqu'un pouvait me donner quelques indications,je ne voit pas du tout comment l'aborder n'ayant jamais fait d'exercices de ce genre dans le chapitre que nous étudions en ce moment qui est : "Matrices et applications linéaires". Merci d'avance.

Déterminer les primitives n-ièmes sur de la fonction x --> (ax²+bx+c)*ex  
a,b,c   
*

Posté par
franzre : Primitives n-ièmes...? 02-04-05 à 01:02

Posons
\mathcal E l'ensemble des fonctions du type x\to (a.x^2+b.x+c)\,e^{\lambda x}    et
f_i: x\to x^i\,e^{\lambda x}\; i\in[[0,2]]

{\mathcal B}=(f_0,f_1,f_2) est une base du  {\mathbb R}-{\rm ev} \;\mathcal E.

Recherchons une primitive de f_i dans \mathcal E. (pour l'instant je ne m'intéresse pas aux constnates d'intégration).

\[(a.x^2+b.x+c)\,e^{\lambda x}\]^'=\[\lambda (a.x^2+b.x+c)+(2a.x+b)\]\,e^{\lambda x}=\[\lambda a.x^2+(2a + \lambda b)x+(b+\lambda c)\]\,e^{\lambda x}
Cela prouve que la dérivation est un endomrphisme sur \mathcal E.

Une primitive de f_0 vérifie \left{ \array{\lambda a &= & 0 \\ 2a + \lambda b & = & 0 \\ b+\lambda c & = & 1} \right. \; \Longleftrightarrow \; \left{ \array{ a &= & 0 \\ b & = & 0 \\ c & = & \frac 1 \lambda} \right.              donc \Bigint f_0 = \frac 1 \lambda f_0

Une primitive de f_1 vérifie \left{ \array{\lambda a &= & 0 \\ 2a + \lambda b & = & 1 \\ b+\lambda c & = & 0} \right. \; \Longleftrightarrow \; \left{ \array{ a &= & 0 \\ b & = & \frac 1 \lambda \\ c & = & -\frac 1 {\lambda^2}} \right.              donc \Bigint f_1 = -\frac 1 {\lambda^2} f_0+\frac 1 \lambda f_1

Une primitive de f_2 vérifie \left{ \array{\lambda a &= & 1 \\ 2a + \lambda b & = & 0 \\ b+\lambda c & = & 0} \right. \; \Longleftrightarrow \; \left{ \array{ a &= & \frac 1 \lambda \\ b & = & -\frac 2 {\lambda^2} \\ c & = & \frac 2 {\lambda^3}} \right.              donc \Bigint f_2 = \frac 2 {\lambda^3} f_0-\frac 2 {\lambda^2} f_1+\frac 1 \lambda f_2

La matrice de l'endomorphisme \Bigint sur \mathcal E relativement à la base \mathcal B est donc
\large A = \left( \array{c30c30c30$ \frac 1 \lambda & -\frac 1 {\lambda^2} & \frac 2 {\lambda^3} \\ 0 & \frac 1 \lambda & -\frac 2 {\lambda^2} \\ 0 & 0 & \frac 1 \lambda} \right) = \frac 1 \lambda I_3 + N\hspace{100}{\rm avec }\; N = \left( \array{c30c30c30$ 0 & -\frac 1 {\lambda^2} & \frac 2 {\lambda^3} \\ 0 & 0 & -\frac 2 {\lambda^2} \\ 0 & 0 & 0} \right)

Par composition succesive de l'endomorphisme "intégration", la primitives n° de x\to (a.x^2+b.x+c)\,e^{\lambda x} dans \mathcal E a pour vecteur coordonnées dans \mathcal B \Large A^n\(\array{a\\b\\c}\)

Il faut donc calculer A^n

(Je continue dans un prochain post).

Posté par
franzre : Primitives n-ièmes...? 02-04-05 à 01:36

A^n=\(N+\frac 1 \lambda I_3\)^n = \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\ \vspace{2}\\k}\)\,N^k\,(\frac 1 \lambda I_3\)^{n-k}     car I_3 commute avec N.

Or on montre que N^2= \left( \array{c30c30c30$ 0 &0 & \frac 2 {\lambda^4} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} \right) et que pour k\ge 3\; N^k=\left( \array{c30c30c30$ 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} \right)

Il ne reste dans le calcul de la somme que les 3 premiers termes.

\array{ccl$ A^n & = & \(\frac 1 \lambda\)^n I_3 \;+\; n \(\frac 1 \lambda\)^{n-1}N \;+\; \frac {n\,(n-1)}2\(\frac 1 \lambda\)^{n-2}N^2 \\ & = & \(\frac 1 \lambda\)^n \left[ \left( \array{c30c30c30$ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \right) \;+\; n.\left( \array{c30c30c30$ 0 & -\frac 1 \lambda & \frac 2 {\lambda^2} \\ 0 & 0 & -\frac 2 \lambda \\ 0 & 0 & 0} \right) \;+\; \frac {n(n-1)} 2.\left( \array{c30c30c30$ 0 & 0 & \frac 2 {\lambda^2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} \right) \right] \\ & = & \large \(\frac 1 \lambda\)^n \,\left( \array{c30c40c45$ 1 & -\frac n \lambda & \frac {n(n+1)} {\lambda^2} \\ 0 & 1 & -\frac {2 n} \lambda \\ 0 & 0 & 1} \right)


Je m'aperçois d'une étourderie
La primitive n° a pour vecteur coordonnées \Large%20A^n\(\array{c\\b\\a}\) = \large \(\frac 1 \lambda\)^n \,\left( \array{ c-\frac n \lambda b +\frac {n(n+1)} {\lambda^2}a \\ \vspace{5} \\ b -\frac {2 n} \lambda a \\ \vspace{5} \\ a }\right) dans la base {\mathcal B} = (f_0,f_1,f_2)

Il suffit de retranscrire et d'ajouter les constantes d'intégration qui conduisent à un polynôme de {\mathbb R}_{n-1}[X].

Posté par Yaya13 (invité)re : Primitives n-ièmes...? 02-04-05 à 08:57

Bonjour Franz

Merci bcp pour ta réponse je vais regarder tout cela pour comprendre comment faire pour parvenir à déterminer les primitives n-ièmes d'une fonction. Merci encore.

Posté par
franzre : Primitives n-ièmes...? 02-04-05 à 12:23

Avec plaisir. Bon courage. N'hésite pas à me relancer si des choses ne te paraissent pas claires.


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