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proba
Bonjour,
je n'arrive pas à trouvé la primitive de cette fonction:
f(x)= 2(x+1)2-3
(x+1)2
Salut,
déjà on pourrait simplifier f:
et là tu dois pouvoir intégrer chque terme, non?
salut nissgirl3 
:
En suivant les conseils de dolhie, tu devrais arriver à :
où K
R
Est-ce que tu y arrives ?
;D
Bonjour,
J'ai cru comprendre (en lisant un autre topic) que l'on pouvait (devait ?) dissocier les 2 ensembles d'existence de f pour la valeur des constantes ?
Doit on écrire :
F(x)=2x+3/(x+1) + K pour x<-1
et
F(x)=2x+3/(x+1) + K' pour x>-1
merci de m'éclairer
Philoux
>> philoux :
tu es sûr ? Je n'était pas du tout au courant ... enfin moi, on ne me l'a jamais dis 
Quelqu'un pourra peut-être nous éclairer alors !
PS : tu as le lien de l'autre topic ?
lyonnais
Salut lyonnais,
A propos de la constante K de ta solution.
En général, cette constante est ajoutée pour avoir TOUTES les primitives qui existent et pas une seule.
Cependant, il y a un piège dont on ne parle en général pas (et probablement même beaucoup de profs n'en sont pas conscients).
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Si le domaine d'existence des primitives est connexe (en un seul morceau), pas de problème, l'ajout d'une constante K réelle permet bien d'englober toutes les primitives.
Il est à remarquer qu'on donne à K n'importe quelle valeur mais qu'il n'est bien-entendu pas question de modifier la valeur de K lorsque x varie.
Et donc dans le cas d'un domaine non connexe, la solution avec une simple constante K ajoutée n'englobe pas TOUTES les primitives.
Dans le cas de l'exercice, le domaine d'existence est ]-oo;-1[ U ]-1;oo[
Je peux trouver sans difficulté une primitive qui n'est pas reprise dans ta formule avec une simple constante K, en voici une:
F(x) est définie par:
F(x) = 2x + 3(x+1) + 89 pour x dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3(x+1) + 3,18 pour x dans ]-1; oo[
Cette primitive convient et n'est pas couverte par ta solution.
Si on peut avoir toutes les primitives existantes, il faut par exemple écrire:
F(x) = 2x + 3(x+1) + K1 pour x dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3(x+1) + K2 pour x dans ]-1; oo[
Avec K1 et K2 des constantes réelles quelconques.
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Remarque que si tu fais cela, ce sera correct mais tu risques peut-être de te faire sanctionner par ton prof qui n'y aura rien compris.
>lyonnais
Je te linke le message : 
étude complète d une fonction : voir à la fin.
La source, sauf distraction, n'affirmant pas sans savoir, je voulais des compléments d'infos.
A moins que je n'ai rien compris...
Philoux
>merci J-P
Sinon, quel peut être l'intérêt de dissocier ces deux constantes ?
Je me souviens d'un exo où il fallait démontrer que la somme d'arctg contenant des x était constante.
Il me semble que tu y avais répondu en dérivant et en montrant que la dérivée était nulle.
Puis tu avais intégré => selon les intervalles de x, la constante était différente (un pi/4 ou qqchose comme ça, si ma mémoire ne me trahit pas).
Peux-tu développer ?
Merci
Philoux
Comme je l'ai dit Philoux, le seul intérêt d'ajouter une constante K est d'englober TOUTES les solutions possibles.
On constate tout simplement qu'une seule constante ne suffit pas pour englober tous les cas possibles de primitives dans le cas de domaine non connexe.
Donc penser qu'une seule constante K englobe tous les cas est une erreur.
C'est vrai que les dérivées de n'importe quelles de 2 primitives différentes donnent le même résultat mais les primitives sont bel et bien différentes.
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Si l'énoncé d'un problème est trouver UNE primitive de la fonction ..., alors on n'a pas besoin de mettre le K.
Si l'énoncé d'un problème est trouver LES primitives de la fonction ..., il faut alors que la solution donnée englobe TOUTES les primitives possibles.
Dans ce cas:
Si le domaine est connexe, l'ajout de la constante K répond au problème.
MAIS si le domaine n'est pas connexe, TOUTES LES primitives ne sont pas couvertes par l'utilisation d'une constante K et donc cette solution n'est pas correcte puisque certaines primitives ne sont pas définies par cette "formule" avec une seule constante.
Dit encore autrement:
Je peux tracer le graphe d'une primitive qui convient et qui n'est pas reprise par la formule avec une seule constante K.
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Exemple par un graphique.
A gauche 2 primitives (1 en bleu l'autre en mauve) données pour l'une par K = 0 et pour l'autre par K = 2
A droite, une primitive qui convient mais qui ne correspond pas à aucune valeur de K dans la formule donnée.
Par contre elle correspond à la solution que j'ai donnée avec k1 = 2 et k2 = 0
La solution avec un seul K ne représente donc pas tous les cas possibles de primitive de la fonction puisque elle est incapable de représenter le graphe de droite qui est pourtant une solution du problème posé.
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>ok, je vois mieux
Par contre, dans ton graphe de gauche, ne devrait-il pas y avoir qu'une branche de courbe (bleue ou mauve) par intervalle -oo;-1 et -1;+oo ?
Pour le graphe de droite, la branche de courbe rouge, pour x<-1 , correspond bien à la branche de courbe mauve et celle pour x>-1 correspond bien à la branche de courbe bleue ?
Philoux
Dans le graphe de gauche, j'ai représenté deux primitives différentes de la fonction donnée par l'équation F(x)=2x+3/(x+1) + K, avec K comme constante.
La bleue (ses 2 branches) avec K = 0 et la mauve (ses 2 branches) avec K = 2 sont les graphes de F(x)=2x+3/(x+1) + K.
Le graphe de droite est composé de la branche mauve du graphe de gauche pour x < -1 et de la branche bleue du graphe de gauche pour x > -1.
La courbe rouge est définie par (avec K1 = 2 et K2 = 0):
F(x)=2x+3/(x+1) + K1 pour x<-1
et
F(x)=2x+3/(x+1) + K2 pour x>-1
La courbe rouge ne peut en aucun cas être définie par:
F(x)=2x+3/(x+1) + K
quelle que soit LA valeur attribuée à K.
Comme la courbe rouge représente une primitive de la fonction demandée, on conclut que l'expression F(x)=2x+3/(x+1) + K (avec K une constante réelle) ne convient pas pour représenter TOUTES les primitives possibles de la fonction.
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Ok J-P
Autre question :
Qd tu parles de domaine connexe, ça signifie que la courbe présente une discontinuité ?
Par exemple, si je construis la courbe y = 2x + |x|/x
Non définie en x=0, formée de 2 demi-droites de pente 2 :
2x+1 pour x>0 et 2x-1 pour x<0
Si je t'ai bien compris, je peux dire que la fonction F(x) définie par :
F(x) = x²+x-2 pour x>0 (branche verte)
F(x) = x²-x+3 pour x<0 (branche bleue)
est UNE des primitives de f(x) ?
Merci
Philoux
Autre question, bien que la précédente soit en suspend;
Soit la courbe :
f(x)=2x+|x|/x pour x <> 0
et f(0)=0
Cette fonction n'est pas continue en x=0
Je recherche F(x), la primitive de f(x) telle que F(0)=0
1) dois-je faire les études des primitives par intervalles ?
2) Ai-je le droit de dire, si je prends les deux constantes K nulles :
F(x)=x²-x pour x<0
F(x)=x²+x pour x>0
de dire que F(x) est continue ?
Philoux
Je pense que oui, une question subsidiaire dans ce genre de truc est parfois de demander que la primitive puisse être prolongée en 0.
Si c'était le cas, alors on serait (par cette seconde condition) obliger de choisir les constantes (-2) et (3) de manière adéquate. (Donc toutes les 2 identiques.).
Mais en l'absence de cette condition supplémentaire, la fonction F(x) définie par:
F(x) = x²+x-2 pour x>0 (branche verte)
F(x) = x²-x+3 pour x<0 (branche bleue)
est bien UNE des primitives de f(x) = 2x + |x|/x puisque pour chaque valeur de x du domaine d'existence de f(x) on a bien F'(x) = f(x).
Mais je ne suis pas Docteur Es Mathématiques, juste un simple utilisateur et comme les définitions de certaines (beaucoup) de notions mathématiques ne sont pas les mêmes pour tous les mathématiciens, je me garderai bien de penser que ma manière de voir est la seule acceptable.
Le "Je pense que oui" de ma réponse précédente était pour la question du 22/06/2005 à 15:06.
Pour la dernière question du message de 15:28, je ne pense pas qu'une fonction non définie en 0 puisse être dite "continue" en ce point. On peut dire qu'elle peut être prolongée en 0, sans plus.
(Mais de nouveau, je ne suis pas théoricien en math).
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Par contre la fonction définie par:
g(x)=x²-x pour x<0
g(x)=x²+x pour x>0
g(0) = 0
est elle continue en 0, elle est équivalente à g(x) = x² + |x| pour x dans R, mais elle ne représente pas une primitive de y = 2x + |x|/x
On peut dire aussi que F(x) = x² + |x| sur R* est une primitive de f(x) 2x + |x|/x , mais de nouveau alors F(x) n'est pas définie en 0.
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>J-P
je ne pense pas qu'une fonction non définie en 0 puisse être dite "continue" en ce point.
Même si j'écris F(0)=0 (4 lignes plus haut) ?
Qd tu dis ...elle est équivalente à g(x) = x² + |x| pour x dans R, mais elle ne représente pas une primitive de y = 2x + |x|/x ..., c'est parce que la fonction f(x) n'est pas définie en 0 ?
Est-ce que, en général, une fonction définie sur tout R avec des intervalles peut avoir une primitive (une dérivée) continue ? ou est-ce complètement décoréllé ?
Philoux
Est-ce que, en général, une fonction définie sur tout R avec des intervalles peut avoir une primitive continue ?
Si j'ai bien compris la question:
Sans y avoir vraiment pensé:
Si on a une fonction définie sur R mais non continue, elle est définie dans des suites d'intervalles connexes.
Pour chacun de ces intervalles on peut trouver une primitive qui convient et qui est définie à une constante près.
On peut donc adapter les constantes des primitives de 2 intervalles voisins pour faire "coller" leurs "points d'intersection".
et donc ...
Ok pour les primitives
Quant aux dérivées, Y'a -t-il des fonctions "bizarres" (avec des || ou des arctg ou ...) qui seraient discontinues avec une dérivée continue ?
Philoux
merci bien :
ton dernier graphique dans sqn posté le 22/06/2005 à 15:06
comment obtien tu de telle résultat ?
est il possible de définir des fonctions comme
?
>H_a
tout à fait
voici une copie d'écran pour bien comprendre
tu peux meme écrire f1(x)= x^3 (x<2)(x>3) par exemple
Philoux
J'ai lu une partie du topic et je bloque déjà. Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas écrire que les primitives sont de la forme:
F(x)=2x+3/(x+1) + K avec K constante appartenant à IR.
"F(x) = 2x + 3(x+1) + K1 pour x dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3(x+1) + K2 pour x dans ]-1; oo["
Je ne comprends pas cela J-P :
"Je peux trouver sans difficulté une primitive qui n'est pas reprise dans ta formule avec une simple constante K, en voici une:
F(x) est définie par:
F(x) = 2x + 3(x+1) + 89 pour x dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3(x+1) + 3,18 pour x dans ]-1; oo["
Pourquoi les primitives avec 89 ou 3,18 ne sont pas reprises avec la formule avec une seule constante K?
Salut Letonio,
Je ne sais pas ce que je pourrais encore ajouter à ce qui a déjà été dit, j'essaie mais sans garantie.
Si tu as F(x) = 2x + 3/(x+1) + K avec K une constante réelle.
Il ne faut pas oublier que le domaine de définition de F(x) est ]-oo ; -1[ U ]-1 ; oo[ (donc l'intervalle de définition est en 2 morceaux puisque {-1} est exclu du domaine).
Donc écrire F(x) = 2x + 3/(x+1) + K
Revient à écrire:
F(x) = 2x + 3/(x+1) + K pour x compris dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3/(x+1) + K pour x compris dans ]-1 ; oo[
----
On peut choisir la valeur qu'on veut pour K, chaque valeur donnera une primitive qui convient.
Je choisis K = 89 et donc la fonction F(x) définie par:
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 89 pour x compris dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 89 pour x compris dans ]-1 ; oo[
est bien une primitive qui convient.
Je choisis K = 3,18 et donc la fonction F(x) définie par:
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 3,18 pour x compris dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 3,18 pour x compris dans ]-1 ; oo[
est bien une primitive qui convient.
-----
Jusque là, c'est OK.
Mais je vais écrire une autre primitive qui convient aussi:
Par exemple:
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 89 pour x compris dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3/(x+1) + 3,18 pour x compris dans ]-1 ; oo[
C'est bien une primitive qui convient puisque F'(x) représente bien la fonction initiale sur tout l'ensemble ]-oo ; -1[ U ]-1 ; oo[
Or cette primitive n'est pas reprise par la forme: F(x) = 2x + 3/(x+1) + K, en effet, avec cette forme je donne une valeur (celle que je veux) pour K mais cette valeur de K reste la même (une fois choisie) sur tout l'ensemble ]-oo ; -1[ U ]-1 ; oo[ et donc pas question d'avoir K = 89 pour un morceau de l'intervalle de définition de F(x) et K = 3,18 pour un autre morceau
Donc lorsque l'intervalle de définition est découpé en plusieurs morceaux (on dit que l'intervalle n'est pas connexe), si on veut pouvoir définir TOUTES les primitives possibles, on a besoin d'autant de constantes Ki qu'il n'y a de "morceaux" dans l'intervalle de définition.
Dans ce cas, on devrait écrire:
F(x) = 2x + 3/(x+1) + K1 pour x compris dans ]-oo ; -1[
F(x) = 2x + 3/(x+1) + K2 pour x compris dans ]-1 ; oo[
Avec K1 et K2 des constantes réelles.
---
Cette dernière forme de F(x) englobe TOUTES les primitives possibles pour l'exercice.
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Remarque:
Ne t'inquiète pas trop si tu n'as toujours pas compris, il est probable que beaucoup de profs ne sont pas non plus conscient de ceci.
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