Bonjour, j'ai un énorme exo de proba à faire et je bloque sur certaine questions qui sont assez compliqué je trouve, je vous indique au cours de l'exercice où je suis bloquée.
Jet simultané de deux dés non pipés
on lance simultanément deux dés non pipés et on note S la varaible égale à la somme des deus dés, donner la loi de S, calculer son espéance et sa variance.
Ok pour cette question
Le jeu du craps est une succession de jets simultanés de deux dés discernables par exemple de couleurs différentes et non pipés. Au jet n, on associe la variable aléatoire Sn égale à la somme des deux dés, les variables aléatoires Sn suivent la loi de S variable définie plus haut.
Le premier jet est particulier
si S1=7 ou 11 le joueur gagne et le jeu s'arrete
si S1=2,3 ou12 le joueur perd et le jeu s'arrete
si S1= 4,5,6,8,9,ou10 le joueur reprend les dés et effectue le second jet.
A partir de la , le joueur ralance les dés et pour tout ebtier n>=2:
si le nième lancer a lieu , on note Sn la variable aléatoire égale à la somme des deux dés et
si Sn=S1 le joueur gagne et le jeu s'arrete
Si Sn=7 le joueur perd et le jeu s'arrete
sinon il reprend les dés et effectue le jet suivant
L'objectif du joueur est ainsi de reproduire le valeur obtenur au permier lancer avant de réaliser 7.
a) Soit k appa {4,5,6} montrer que P[S2=k]sachan[S1=k]=(k-1)/36
ok pour cette question
b) Soit k app {4,5,6} montrer que pour n>=2 : P[Sn=k]sachan[S1=k]=(k-1)/36 *((31-k)/36))^(n-2), la j'ai un problème j'arrive pas à trouver le 31 je ne trouve pas mon erreur ...
c) On note G le joueur gagne
montrer que pour k app {4,5,6} P(G)sachant[S1=k]=(k-1)/(k+5) ok
d) calculer de meme P(G)sachant[S1=k] pour k app{8,9,10} la je bloque
e) Soit G' le joueur gagne au premier jet. Déterminer la probabilité de G'. je pense que c'est l'addition de la réponse c et d?
f) Soit G'' le joueur gagne après le premier jet. Montrer que P[G'']=2sum(k-1)/(k+5)*((k-1)/36) de k=4à6 la je suis bloqué
g) Détermiber enfin p(G) et vérifier que le craps n'ets pas un jeu trop voleur c'est à dire que la probabilité pour le joueur de gagner est très peu inférieure à 0.5 ok
Jeu en famille finie
sur cette partie je bloque vraiment
Plusieurs joueurs nommés J1...Jn jouent l'un après l'autre dans l'ordre des indices.
A chaque joueur J1...Jn est imparti un evt A1..An
Le jeu se terminer quand l'un des joueurs réalise l'evt aléatoire qui lui est imparti: auquel cas il gagne.
Quand aucun des joueurs n'a gagné, on recommence un tour et on continue ainsi jusqu'à ce que l'un des joueurs gagne. Ainsi un joueur qui n'a pas gagnée à sont tour peut avoir à nouveau la main et n'est pas éliminé (immédiatement)/
on désignera par pk la probabilité non nulle pour le joueur Jk de réaliser l'evt Ak quand il a la main. On posera qk=1-pk et q0=1. levt Jk gagne sera noté Gk et on supposera l'indépendance, mutuelle à priori, de toutes les suites de résultats des coups joués par les concurrents jusqu'à la fin de la partie si tant est qu'elle se termine.
Entre deux joueurs J1 et J2
a)Remarquer que J1 ne peut jouer qu'aux rangs impairs et J2 au rangs pairs.(dois je répondre à cette remarque) En déduire que P(G1)=sum(q1q2)^n*p1 pour n=0à+inf=p1/(1-q1q2) je trouve la deuxième égalité mais pas la première.pareil pour G2: P(G2)=sum(q1q2)^n*q1p2 pour n=0à+inf=q1p2/(1-q1q2)
Calculer P(G1)+P(G2) ok et en déduire que le jeu se termine de facon certaine au bout d'un nombre fini de coups. la je sais pas comment faire
b) On désigne par T la variable aléatoire égale au nombre de coups joués jusqu'à la fin du jeu; montrer que l'espérance E(t)=(2-p1)/(1-q1q2) j'y arrive pas
c) on dit que le jeu est équitable si P(G1)=P(G2) Montrer que le jeu est équitable si et slt si p2=p1/(1-q1q2) je n'arrive pas à trouver ca
d) Exprimer E(T) dans le cas où le jeu est équitable. la aussi je suis bloqué
Entre c joueurs ( pour cette partie je n'ai trouvé aucune question c'est la cata)
a)Expliquer pourquoi pout tout k appa {1,2,...c} le joueur Jk ne peut éventuellemnt jouer (et gagner) qu'aux rangs (cn+k) où n est un entier naturel et que P(Gk)=q0q1...qk-1qk*sum(q0q1..qc)^n pour n=0 à +inf
b) démontrer que sum q0q1...qk-1qk+q0q1...qc(de k=1 à c)=1 et en déduire que le jeu se termine de facon certaine au bout d'un nombre fini de coups.
c) On dit que le jeu est équitable si pour tout k app {1...C} P(Gk)=1/c
montrer que le jeu est équitable si et slt si pour tout k appa {1...c-1} p(k+1)=pk/(1-pk)
On pose Rk=1/pk et on suppose le jeu équitable, déterminer rk, puis pk en fonction de k et de p1. En déduire que si le jeu est équitable alors p1<=1/c Déterminer pc quand le jeu est équitable et que p1=1/c
d) La varaible T étant définie comme dans la compétition entre deux joueurs montrer que dans le cas d'équiprobabilité on a E(T)=sum iP(T=i)de i=1 àinf=1/p1-(c-1)/2 (on pourra remarquer que q0q1...qc=1-cp1)
j'ai encore une troisième partie, qui me semble necore plus complqié mais pour auj je pense que y en a assez!
Merci d'avance.