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proba

Posté par moustik (invité) 16-12-05 à 19:48

Pouvez vous m'aider, ce soir absolument j'ai devoir sur table demain et c'est la panique comment faire quand on a cet exo:

X et Y deux var aléatoires, définie sur (oméga,A,P), indépendante et suivant la meme loi géométrique de paramètre p (0<p<1)
On pose Z=inf(X,Y)
a)Déterminer P(Z=1)
Déterminer la loi de Z donner son espérance, sa variance
On pose T=sup(X,Y)
Déterminer la loi de T
Montrer que T+Z=X+Y et en déduire l'espérance de T.
On pose U=abs(X-Y)
Déterminer la loi de U

Merci beaucoup

Posté par Mayo (invité)re : proba 16-12-05 à 21:55

Bon pas de panique, on se calme hein
Alors Z est défini comme inf des variables X et Y càd comme valeur minimale.
Pour que (Z=1) se réalise il faut et il suffit que (X=1) ou (Y=1) puisque la loi géométrique est a valeur dans \mathbb(N)*
[Z=1]=([X=1] \cap [Y>1]) \cup ([X>1] \cap [Y=1]) \cup [X=1] \cap [Y=1])
En passant aux probas, les évenements étant incompatibles:
P([Z=1])=P([X=1] \cap [Y>1])+P([X>1] \cap [Y=1])+P([X=1] \cap [Y=1])
Comme X ou Y( \Omega )= \mathbb {N} \setminus \{0\} dire [X > 1] revient a dire \Omega \setminus [X=1] d'où en terme de proba : P(Y>1)=1-P(Y=1) d'où:

P([Z=1])=P([X=1] \cap [Y>1])+P([X>1] \cap [Y=1])+P([X=1] \cap [Y=1])
Par indépendance:
P([Z=1])=P[X=1] \times P[Y>1]+P[X>1] \times P[Y=1]+P[X=1] \times P[Y=1]
P([Z=1])=P[X=1] \times (1-P[Y=1])+(1-P[X=1]) \times P[Y=1]+P[X=1] \times P[Y=1]
P([Z=1])=P[X=1] -P[X=1]P[Y=1]+P[Y=1]-P[X=1]P[Y=1]+P[X=1] \times P[Y=1]
P([Z=1])=P[X=1] + P[Y=1] - P[X=1]P[Y=1]
A toi de conclure

Posté par Mayo (invité)re : proba 16-12-05 à 21:58

Pour donner la loi de Z, tu commences par donner Z(\Omega)
Ici Z(\Omega)=\mathbb{N} ^{\ast}
Tu prends un nombre k \geq 1 et tu cherches P[Z=k] en te basant sur le modèle de P[Z=1]. Si tu n'y arrives pas je t'aiderai

Posté par moustik (invité)re : proba 16-12-05 à 22:00

merci beaucoup j'essaie depuis tout à l'heure mais je n'y arrive pas du tout.

Posté par Mayo (invité)re : proba 16-12-05 à 22:01

Pour le sup c'est la même logique,
([X=k] \cap [Y<k]) \cup ([Y=k] \cap [X<k]) \cup ([X=k] \cap [Y=k])=[T=k]

Posté par moustik (invité)re : proba 16-12-05 à 22:13

je trouve P(z=1)=2p-p² mais après pour la loi je bloque

Posté par moustik (invité)re : proba 16-12-05 à 22:19

ca serait pas P(Z=k)=P(X=k)+P(Y=k)-P(X=k)P(Y=k) et après on remplace par la loi d'une formule géométrique?

Posté par moustik (invité)re : proba 16-12-05 à 22:19

par contre après je bloque pour d) et e)

Posté par Mayo (invité)re : proba 17-12-05 à 00:40

tu as deux variables, la logique veut que si l'une est le minimum, l'autre est le maximum ou alors minimum et maximum sont confondus. Ca devrait aider pour d.

E(T)=E(X)+E(Y)-E(Z) par linéarité
A toi de jouer

abs(X-Y) = X si X=>Y et Y si Y=>X
regarde ces deux cas


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