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Proba

Posté par
mousse42 10-02-21 à 15:07

Bonjour,
Je révise les proba pour attaquer les statistiques et j'ai l'impression d'avoir tout oublié...

Soit  deux v.a. X,Y discrètes à valeurs dans [\![1,n]\!] et [\![1,m]\!].
1) Montrer que si X Y sont indépendantes alors E(XY)=E(X)E(Y)
2) Montrer que si X Y sont indépendantes alors Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
3) Reprendre les deux questions ci-dessus lorsque les v.a. X et Y sont indépendantes de loi continue.

Voici ma solution pour la 1ère question.

On pose D:=[\![1,n]\!]\times [\![1,m]\!]

On considère le vecteur (X,Y) de loi \mathbb{P}_{(X,Y)}

On pose h(X,Y)=XY

\large E(XY)=E(h)=\int_D h(x,y)d\mathbb{P}_{(x,y)}(x,y)

puisque X et Y sont indépendantes, on a d\mathbb{P}_{(x,y)}(x,y)=d\mathbb{P}_X(x)d\mathbb{P}_Y(y)

Donc \large\int_D h(x,y)d\mathbb{P}_{(x,y)}(x,y)=\int_D xyd\mathbb{P}_X(x)d\mathbb{P}_Y(y)=\left(\int_{[\![1,n]\!]}xd\mathbb{P}_X(x)\right)\left(\int_{[\![1,m]\!]}yd\mathbb{P}_Y(y)\right)=E(X)E(Y)

Pour la seconde, j'ai utilisé le même principe (théorème de Fubini+indépendance des variables) pour trouver le résultat.

Le problème survient à la question 3,  on me demande de refaire la même chose en tenant compte de la densité alors que si on considère f comme étant la densité de X on a d\mathbb{P}_X(x)=f(x)d\lambda(x), et ça ne change pas grand chose à la démonstration donnée à la question 1 et 2
merci

Posté par
lionel52re : Proba 10-02-21 à 15:12

Hello,

Il faut plutôt écrire un truc dans le style :
E[X] = \sum_{x \in E} xP(X=x)
Pour 1 et 2

Et
E[X] = \int_R xf(x)dx pour la 3

Posté par
Ulmierere : Proba 10-02-21 à 15:24

Ta démonstration est correcte dans les cas continu et discret à la fois. Tu as eu le nez creux de ne pas faire apparaitre de densité par transfert, parce qu'il n'y en a effectivement pas en général. Mais il faut bien comprendre que ce que tu notes dP_{(x,y)} = dP(x)dP(y) devrait être noté P\circ (X,Y)^{-1} =: P_{X,Y} = P\circ X^{-1} \otimes P\circ Y^{-1} = P_X\otimes P_Y . C'est à dire que la loi du couple est le produit tensoriel des lois marginales.

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 15:26

ok, merci lionel52, ça complique un peu les choses pour la question 1 et 2...
bon, je vais le faire

Posté par
Ulmierere : Proba 10-02-21 à 15:31

Pour la deuxième question, pas besoin de Fubini/Fubini-Tonelli. Pour toutes v.a  X et Y de covariance nulle (i.e E(XY)=E(X)E(Y)), et en particulier quand elles sont indépendantes :

\begin{array}{lcl} \\ Var(X+Y) &=& E((X+Y)^2)-E(X+Y)^2 \\ &=& E(X^2+2XY+Y^2) - E(X)^2 - 2E(X)E(Y)- E(Y)^2\\ &=& E(X^2)-E(X)^2 + E(Y^2)-E(Y)^2 + 2E(X)E(Y)-2E(X)E(Y) \\ &=& Var(X) + Var(Y) \\ \end{array}

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 15:33

Salut Ulmière
Je n'ai pas noté ceci dP_{(x,y)} = dP(x)dP(y)  mais ceci dP_{(x,y)} = dP_X(x)dP_Y(y)

Avec P_X(A)=P(X\in A)

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 15:36

ok, merci Ulmiere pour la seconde question

Posté par
Ulmierere : Proba 10-02-21 à 15:37

Je voulais dire que dP_{(x,y)}(x,y) n'a aucun sens ici.
Il aurait fallu écrire dP_{(X,Y)}(x,y) ou bien P_{(X,Y)}(dx,dy).
On parle bien de la mesure image de la v.a (X,Y) et non du couple de variables muettes x et y

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 15:41

oui, c'est une coquille c'est bien dP_{(X,Y)}(x,y), merci pour la correction.

Une dernière question, la 1ère question me semble un peu plus compliquée  en suivant la méthode de lionel52,n'est ce pas , juste pour avoir une idée du temps que je dois passé sur la question

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 15:57

ok,

\begin{array}{ll}E(X)E(Y)&=\left(\sum_{i=1}^niP_X(\{i\})\right)\left(\sum_{j=1}^mjP_Y(\{j\})\right)=\sum_{i=1}^n\left[iP_X(\{i\})\sum_{j=1}^mjP_Y(\{j\})\right]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mijP_X(\{i\})P_Y(\{j\})\\ \\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mijP_{(X,Y)}(\{(i,j)\})=\sum_{(i,j)\in [\![1,n]\!]\times [\![1,m]\!]}ijP_{(X,Y)}(\{(i,j)\})=E(XY)\end{array}

ça me semble correct...

Posté par
Ulmierere : Proba 10-02-21 à 15:59

Tout cela est exactement la même chose en fait. Tu as écrit la version théorique, et lionel52 (et l'exercice) te propose(nt) de répondre dans un cas particulier où la loi est purement atomique. Ce qui revient à intégrer avec une densité par rapport à la mesure de comptage.
Si tu préfères : \sum_{k=1}^N f(k) = \int f(x)\delta(dx), où \delta = \sum_{k=1}^N \delta_k

Posté par
Ulmierere : Proba 10-02-21 à 16:00

Oui c'est correct

Posté par
mousse42re : Proba 10-02-21 à 17:00

ok, merci


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