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proba

Posté par
mousse42 04-03-21 à 23:19

Bonsoir,

Soit  (X_1,\cdots,X_n) un échantillon de v.a.  i.i.d. de loi paramétrisée (\mu_\theta)_{\theta\in \Theta} où \Theta=\R_+^* et \mu_\theta=\mathcal{N}(0,\theta)

On me demande la loi de \dfrac{S_n^2}{\theta}

j'ai exploré 2 pistes sans issue

La première est de s'appuyer sur la variable \dfrac{S_n}{\sqrt{\theta n}} qui converge en loi vers la loi normale centrée-réduite.

Ainsi

P(\dfrac{S_n^2}{\theta}\le t)=P(S_n^2\le \theta t)=P(-\sqrt{\theta t}\le S_n\le \sqrt{\theta t})=P\left(-\sqrt{\dfrac{t}{n}}\le\dfrac{S_n}{\sqrt{\theta n}}\le  \sqrt{\dfrac{t}{n}}\right)=\Large \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\XXL\int_0^{\sqrt{\frac{t}{n}}}e^{-\frac{x}{2}}dx

Ensuite je bloque sur le changement de variable.

Une autre méthode qui revient presque au même est de déterminer la loi de S_n avec la fonction de transfert qui donne S_n\sim \mathcal{N}(0,n\theta), mais je me suis rendu compte que je tombe sur le même problème..

Posté par
mousse42re : proba 04-03-21 à 23:44

oui, au fait je viens de trouver la densité de \dfrac{S_n^2}{\theta}

f(s)=\dfrac{4n}{\sqrt{2\pi}}\,s\,\exp\left[-\dfrac{n^2s^4}{2}\right]\cdot \mathds{1}_{\R_+}(s), le problème est que j'ai perdu \theta

Posté par
lionel52re : proba 04-03-21 à 23:52

Hello !
Tu ne peux pas utiliser le Tcl vu qu'on te demande la loi précise...

Va falloir faire les calculs
S_n^2/\theta = U_1^2 + ... + U_n^2 avec les Ui normales centrées réduites
E[f(S_n^2/\theta^2)]=A\int_{R^n}f(x_1^2+....+x_n^2)exp(-(x_1^2+....+x_n)^2/2)dx =A2^nI avec A  constante que j'ai la flemme d'ecrire et I la meme integrale sur R+^n

Ensuite le changement de variable
y1 = x1^2 + ... + xn^2
y2 = x2
....
yn = xn

Peut aider. D'ou l'interet d'integrer sur R+^n

Posté par
lionel52re : proba 04-03-21 à 23:53

mousse42 @ 04-03-2021 à 23:44

oui, au fait je viens de trouver la densité de \dfrac{S_n^2}{\theta}

f(s)=\dfrac{4n}{\sqrt{2\pi}}\,s\,\exp\left[-\dfrac{n^2s^4}{2}\right]\cdot \mathds{1}_{\R_+}(s), le problème est que j'ai perdu \theta




Ta densité est mauvaise. Par contre il est normal qu'elle ne depende pas de theta d'où l'interet de cette statistique.

Posté par
mousse42re : proba 04-03-21 à 23:58

Tu appliques le théorème de transfert, le truc que je cherchais à éviter à tout prix

Je n'aime pas les calculs, mais bon...

Une autre question que j'ai posé à un collègue

S_n^2 pour toi c'est \sum X_i^2

Je pensais S_n^2 était le carré de la somme i.e \left(\sum X_i\right)^2

Posté par
lionel52re : proba 05-03-21 à 00:01

Non estimateur de la variance c'est bien la somme des carrés

Posté par
lionel52re : proba 05-03-21 à 00:01

(Divisé par n)

Posté par
mousse42re : proba 05-03-21 à 00:10

ok, je vois merci lionel52, tu utilises le difféomorphisme (x_1,\cdots,x_n)\mapsto (\sum x_i\,, x_2,\cdots,x_n)

Posté par
mousse42re : proba 05-03-21 à 09:51

Je ne suis pas entrainer à faire ce genre de calcul.

J'ai

\begin{array}{ll}\large E\left[f\left(\frac{S_n^2}{\theta}\right)\right]&=\int_{\R^n}f\left(\frac{S_n^2}{\theta}\right)dP_{(X_1,\cdots,X_n)}(x_1,\cdots,x_n)=\int_{\R^n}f\left(\frac{S_n^2}{\theta}\right)dP_{X_1}\otimes\cdots\otimes dP_{X_n}(x_1,\cdots,x_n)\\&=\dfrac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{R^n}f\left(\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{\theta}\right)e^{-\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{2\theta}}d\lambda^n(x_1,\cdots x_n)\end{array}


Là j'ai du mal à trouver le difféomorphisme qui va bien pour le changement de variable

si j'utilise \gamma :(x_1,\cdots,x_n)\mapsto (\sum x_i^2,x_2,\cdots,x_n) ce n'est pas un difféomorphisme, même de (R_+)^n vers (R_+)^n

Je pense qu'il est difféomorphisme si on impose x_1<x_2<\cdots<x_n, est-ce la bonne piste?

Connaisez-vous des ouvages d'exercices, où je peux m'entrainer sur ce genre de problème.

Posté par
mousse42re : proba 05-03-21 à 10:33

lionel52, ce n'est pas le moment de faire la grasse matinée...

Posté par
lionel52re : proba 05-03-21 à 12:42

Pire. J'ai des dégâts des eaux.

Bon reprenons :

S_n^2/\sigma = \frac1{n\sigma}{(X_1^2 + ... + X_n^2)}= \frac1n{(U_1^2 + ... + U_n^2)} \\

avec les U_i des normales centrées réduites

Méthode du transfert :
Je dois calculer

I = \int_{R^n} f(\frac1n(u_1^2 + ... + u_n^2))\frac1{(2\pi)^{n/2}} exp(-(u_1^2 + ... + u_n^2)/2)du

a) Quitte à poser g(u) = f(u/n) je me débarrasse pour l'instant du 1/n parce que ça complique les notations et tu pourras faire ton cdv tout à la fin
b) Par parité I = 2^n I'  avec I' l'intégrale sur R_+^n
c) Tu pourrais calculer facilement cette intégrale avec les coordonnées hypersphériques mais encore faut-il les connaitre (je les connais pas par coeur)

Maintenant oui mon changement de variable fonctionnait pas. Je l'adapte
y_1 = u_1^2
y_2 = u_1^2 + u_2^2
...
y_n = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2
De sorte que u_1 = \sqrt{y_1}, .... u_n = \sqrt{y_n - y_{n-1}}
Et que y_1 < ... < y_n

Facilement on voit que le jacobien vaut
J = 2^n u_1 .... u_n
Donc
J^{-1} = \frac{1}{2^n \sqrt{y_1}\sqrt{y_2 - y_1}...\sqrt{y_n - y_{n-1}}}


Ainsi mis bout à bout on obtient :


I =  C \int_{y_n = 0}^{\infty} .... \int_{y_2 = 0}^{y_3} \int_{y_1 = 0}^{y_2} \frac{g(y_n)e^{-y_n/2}}{\sqrt{y_1}\sqrt{y_2 - y_1}...\sqrt{y_n - y_{n-1}}}dy_n....dy_1


A toi de jouer ça se calcule pas trop mal je pense
Le 1er terme à calculer est
\int_0^a 1/\sqrt{x(a-x)}dx qui vaut \pi

Posté par
mousse42re : proba 05-03-21 à 12:50

ok, je comprends pourquoi t'as mis les voiles
En tout cas mercilionel52, je vais regarder et tâcher de comprendre le principe,  et j'espère que tout va s'arranger de ton côté .


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