Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Proba conditionnelle

Posté par
Tequila95 09-12-07 à 12:34

On a n+1 boules dans une urne (numérotées de 0 à n)
-On tire une boule au hasard dans l'urne
-si la boule numérotée p est tirée au k-ième tirage, alors on retire les boules ayant un numéro strict supérieur à p, et le tirage suivant se fait dans l'urne modifiée.


1)Probabilité de tirer au moins une fois la boule portant le numéro n?

J'ai pensé à passer par l'évènement contraire : tirer aucune fois la boule portant le numéro n
Pour ca il y a n possibilités, puisque en tirant une boule inferieure strict à n+1 ca eliminera la boule n...
Donc P=1-n/n+1=1/n+1

2)Soit a(p,k) la proba de tirer au moins une fois la boule portant le numéro p, le premier tirage se faisant dans une urne contentant seulement les boules numérotées de 0 à k.
Demontrer, en tenant compte du résultat obtenu au premier tirage que
(n+1)a(p,n)=1+\bigsum_{k=p+1}^{n} a(p,k)

en déduire la valeur de a(p,n)

Et la franchement jmen remet à vous, je n'ai pas pigé, je ne vois pas comment parvenir à un tel résultat

Posté par
Tequila95re : Proba conditionnelle 09-12-07 à 15:42

Erf si seulement qqun avait une ptite idée

Posté par
franzre : Proba conditionnelle 09-12-07 à 19:05

Bonsoir,

je suis d'accord avec le résultat du 1°

2/
on considère le résultat k du 1° tirage.
S'il conduit à une boule de n° inférieur à p, il n'est plus possible de tirer la boule p.
Sil conduit à la boule p, on a gagné
Sinon, on est ramené à une urene contenant k boules
donc
a(p,n)=p\[\(1^\circ {\rm tirage = }p\)\;\Bigcup_{k=p+1}^n\(1^\circ {\rm tirage = }k\cap{\rm on tire la boule }p \;{\rm dans un urne contenant }k \;{\rm boules}\)\]

a(p,n)=\frac 1 {n+1}\;+\;\Bigsum_{k=p+1}^n\,\frac 1 {n+1}. p\({\rm on tire la boule }p \;{\rm dans un urne contenant }k \;{\rm boules}\)\quad = \quad \frac 1 {n+1}\;+\;\Bigsum_{k=p+1}^n \,\frac 1 {n+1}.a(p,k)

d'où le résultat


On en déduit (attention aux indices de sommation)

n.a(p,n)\;=\;1\;+\;\Bigsum_{k=p+1}^{n-1} a(p,k)
donc
(n-1).a(p,n-1)\;=\;1\;+\;\Bigsum_{k=p+1}^{n-2} a(p,k)

En soustrayant les deux expressions ci-dessus
n.a(p,n)-(n-1).a(p,n-1)\;=\; a(p,n-1)
n.a(p,n)\;=\;n a(p,n-1)
a(p,n)\;=\; a(p,n-1)
a(p,n)\;=\; a(p,p)
\fbox{\;\forall n\geq p\;,\;a(p,n)\;=\; \frac 1 {p+1} \;}

Posté par
Tequila95re : Proba conditionnelle 10-12-07 à 21:19

Ca m'ennuie de upper ca, mais je vous dois un grand merci

Posté par
franzre : Proba conditionnelle 10-12-07 à 21:41

avec plaisir


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !