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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Proba/fonction de répartition
Posté par yewll
Bonjour,
Je bloque sur la question suivante:
Soit D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2+y^2<=r^2} càd un disque centre en 0 et de rayon r
On choisit un point M = (X, Y ) uniformément au hasard dans ce disque, c'est-à-dire que
le couple (X, Y ) a pour densité
La question est : Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire U=X^2+Y^2 En déduire que U admet pour densité ...
Ma question est de savoir comment calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire U=X^2+Y^2
A priori j'aurais calculer la densité de X^2 puis de Y^2 puis X^2+Y^2 et puis j'en aurais déduit la fonction de répartition... mais la on me demande de calculer la fonction de répartition puis d'en déduire la densité...
Je ne sais pas comment faire... X^2+Y^2 ça me fait penser aux coordonnées polaire mais je ne voie pas du tout comment faire.
si vous avez des idées/indication pour me débloquer je suis preneur.
Merci de votre aide.
Bonsoir,
une façon simple de voir la loi uniforme sur le disque est de dire que la probabilité de l'événement (X,Y)
A ,où A est une partie mesurable du disque, est proportionnelle à l'aire ( la mesure ) de A.
On a donc P(X2+Y2
t2)=t2/r2.
Il faut encore faire un changement de variable . . .
Bonjour,
Merci de votre réponse et désole de revenir si tard mais j'avais d'autre trucs a réviser en priorité...
on peut dire que P(X^2+Y^2<t^2) <=> P(sqrt(X^2+Y^2)<t)
Apres je comprend que si t>r alors la proba est de 1
Si t < r et que sqrt(X^2+Y^2) est uniformément repartie sur (0,r) alors la proba est de P(sqrt(X^2+Y^2)<t) = t/r et on retrouve votre résultat.
C'est bien ça ?
Mais comment on prouve que (X,Y) est uniformément repartie sur le disque implique que sqrt(X^2+Y^2) est uniformément repartie sur (0,r) ?
Merci de votre réponse
Je comprend intuitivement que l'événement (X,Y)A ,est proportionnelle la mesure de A. Donc pour tout intervalle I dans (0,r), la proba que sqrt(X^2+Y^2) I est proportionnelle a I.
Non, et pour plusieurs raisons.
D'abord « proportionnelle à I » n'a pas de sens.
Ensuite, en faisant un peu de divination, on n'a pas proportionnelle à
.
Cette probabilité est proportionnelle à l'aire de la couronne de rayon a et b, c'est à dire à .
Merci pour votre aide.
Du coup si je comprend bien, la proba que sqrt(X^2+Y^2)[a,b]
est égale à la proba que que (X,Y) à l'aire de la couronne de rayon a et b or comme (X,Y) est uniformément repartie sur le disque cette proba est proportionnelle à l'air l'aire de la couronne de rayon a et b.
Cette proba est donc egale à:
(b^2-a^2) /r^2 en particulier pour a=0 et b=t on a:
t^2/r^2
et donc P(X^2+Y^2<t)=t/r^2.