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Proba min (X,Y)

Posté par
mousse42 12-03-21 à 23:22

Bonsoir,

C'est une question sans importance, je cherche une autre voie pour retrouver un résultat.

J'ai X\perp\!\!\!\!\perp Y et je cherche la loi de \min (X,Y)

P(\min(X,Y)\le t)=1-P(\min(X,Y)>t)=\cdots=P(X\le t)+P(Y\le t)-P(X\le t)P(Y\le t)

ok, mais je n'ai pas envie de prendre ce chemin, je simule un jour d'examen où souvent on a la tête dans le guidon, j'opte naturellement pour la méthode bourrin :

P(\min(X,Y)\le t)

Si X< Yon a soit (\min(X,Y)\le t)=\{X\le t\}\cap (Y>t) soit  (\min(X,Y)\le t)=\{X\le t\}\cap (Y>X) (le "soit" est une hésitation de ma part)

Je prends la première option plus facile à calculer, en n'oubliant pas le cas Y<X

\begin{array}{ll}P(\min(X,Y)\le t)&=P\Big((X\le t\cap Y>t)\cup(X> t\cap Y\le t)\Big)=P[X\le t\cap Y>t]+P[X> t\cap Y\le t]\\\\&=P(X\le t)+P(Y\le t)-2P(X\le t)P(Y\le t)\end{array}

il y a donc un lézard... de plus si on compare les résultats, il semble que l'on a oublié un morceau  d'où :

P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t\cap Y>X)\cup(X> Y\cap Y\le t)\Big)

et là je suis coincé...

Posté par
carpediemre : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 08:21

salut

que signifie

mousse42 @ 12-03-2021 à 23:22


J'ai X\perp\!\!\!\!\perp Y

P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t\cap Y>X)\cup(X> Y\cap Y\le t)\Big)
et dans cette dernière ligne des inégalités dans tous les sens ...

Posté par
jandri Correcteurre : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 08:58

Bonjour mousse42,

je crois que tu te compliques la vie.

P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t)\cup(X> t\cap Y\le t)\Big) donne directement ce que tu as obtenu par ta première méthode, passage par P(\min(X,Y)> t).

Posté par
mousse42re : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 09:04

X\perp\!\!\!\!\perp Y : les deux variables sont indépendantes

P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t\cap Y>X)\cup(X> Y\cap Y\le t)\Big) \\


(\min(X,Y)\le t) : on a deux cas,

si X<Y, (\min(X,Y)\le t) =(X\le t)\cap( Y>X)=A  (1)

si X\ge Y (\min(X,Y)\le t) =(Y\le t)\cap (Y\le X)=B (2)

Ainsi P(\min(X,Y)\le t)=P(A\cup B)=P\Big[(X\le t)\cap( Y>X)\cup(Y\le t)\cap (Y\le X)\Big]

Si je développe (1), i.e si X<Y on a

\begin{array}{ll}(\min(X,Y)\le t) &=(X\le t)\cap( Y>X)=A=\Big\{X\in ]-\infty,t]\Big\}\cap \Big( \Big\{Y\in]X,t]\Big\}\cup \Big\{Y\in ]t,+\infty[\Big\}\Big)\\\\&=\Big(\Big\{X\in ]-\infty,t]\Big\}\cap\Big\{Y\in]X,t]\Big\}\Big)\cup\Big(\Big\{X\in ]-\infty,t]\Big\}\cap \Big\{Y\in ]t,+\infty[\Big\}\Big)\end{array}

C'est ici que je bloque...

Posté par
mousse42re : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 09:09

jandri @ 13-03-2021 à 08:58

Bonjour mousse42,

je crois que tu te compliques la vie.

P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t)\cup(X> t\cap Y\le t)\Big) donne directement ce que tu as obtenu par ta première méthode, passage par P(\min(X,Y)> t).


oui, je sais, c'était simplement pour pousser le raisonnement et voir jusqu'où on peut aller avec cette méthode. Mais bon, il semble qu'on ait pas le choix

Posté par
jandri Correcteurre : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 10:35

C'est normal que tu n'y arrives pas, tu as fait une erreur.

Quand tu écris P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t\cap Y>X)\cup(X> Y\cap Y\le t)\Big) \\ tu oublies le cas (X\le t\cap Y=X)=(Y\le t\cap Y=X)

Mais je maintiens que le plus simple est d'écrire P(\min(X,Y)\le t)=P\Big((X\le t)\cup(X> t\cap Y\le t)\Big) en utilisant le système complet \{(X\le t)\;,\;(X> t)\}

Posté par
Ulmierere : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 11:07

C'est très faux, tu ne peux pas faire de disjonction de cas "si X<Y". Tu es en train de comparer des fonctions, pas des réels et l'ordre sur l'ensemble des fonctions \Omega\to\mathbb{R} n'est pas total !


F_{\min(X,Y)}(t) = P(\min(X,Y)\leqslant t) = 1 - P(\min(X,Y)>t) = 1-P(X>t,Y>t)  = 1-P(X>t)P(Y>t) = 1-(1-F_X(t))(1-F_Y(t))

Posté par
mousse42re : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 13:04

Merci pour ta réponse jandri , je vais corriger.

Ulmiere, on a bien (X<Y)=\{w\in \Omega :X(w)<Y(w)\},sinon je vais creuser davantage mais là, je dois partir ...mon objectif c'est de bien comprendre pourquoi cette voie est sans issue et d'être en mesure de le justifier par moi-même sans être contraint de l'admettre ...je dois partir bon après midi

Posté par
matheuxmatoure : Proba min (X,Y) 13-03-21 à 17:55

bonjour

la solution de Ulmiere peut aussi être obtenue "en direct" :

F_{min(X,Y)}{t)=P(\min(X,Y) \leqslant t) = P((X \leqslant t) \cup (Y \leqslant t)) =P(X \leqslant t) + P(Y \leqslant t) -P((X \leqslant t) \cap (Y \leqslant t))  = P(X \leqslant t) + P(Y \leqslant t) -P(X \leqslant t) \times P(Y \leqslant t) = F_X(t)+F_Y(t)-F_X(t) \times F_Y(t)

Posté par
mousse42re : Proba min (X,Y) 15-03-21 à 01:52

Bien vu matheuxmatou. Je ne comprends vraiment pas pourquoi j'ai bloqué la dessus.

On prend les ensembles (\min(X,Y)\le t) et (X\le t)\cup(Y\le t)
Et on montre la double inclusion

L'inclusion (\min(X,Y)\le t)\subset(X\le t)\cup(Y\le t) est triviale.

Soit \omega\in (X\le t)\cup(Y\le t), Si X(\omega)\le Y(\omega)

On a soit X(\omega)\le Y(\omega)\le t ou X(\omega)\le t<Y(\omega)

Dans les deux cas on a \min(X(\omega),Y(\omega))=X(\omega)\le t donc \omega\in (\min(X,Y)\le t)

Si X(\omega)> Y(\omega),
on a soit t\ge X(\omega)> Y(\omega) ou X(\omega)>t\ge Y(\omega)

Dans les deux cas on a \min(X(\omega),Y(\omega))=Y(\omega)\le t donc \omega\in (\min(X,Y)\le t)

Posté par
jandri Correcteurre : Proba min (X,Y) 15-03-21 à 08:48

Je ne comprends pas non plus ce qui te posait problème car cela revient exactement au même que ce que tu avais écrit dans ton premier post le 12-03-21 à 23:22 :

P(\min(X,Y)\le t)=1-P(\min(X,Y)>t)=1-P(X>t)P(Y>t)=P(X\le t)+P(Y\le t)-P(X\le t)P(Y\le t)


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