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probabilité

Posté par gui12 (invité) 05-11-06 à 21:31

bonjour j'ai du mal à faire un exerice d'un devoir maison. j'aimerais que vous me donniez quelques pistes. D'avance merci.
Soit n*
Une urne contient des jetons indiscernables au toucher. Sur chaque jeton sont écrits exactement 2 numéros: sur une face un numéro écrit en rouge, et sur l'autre face un autre écrit en vert.Dans l'urne il y a :
1 jeton portant le numéro 1 inscrit en rouge, le numéro 1 inscrit en vert.
3 jetons portant tous le numéro 3 inscrit en rouge, le numéro écrit en vert étant le 1 pour le premier des 3 jetons, 2 pour le second et 3 pour le troisième.
5 jetons portant tous le numéro 5 inscrit en rouge, le numéro inscrit en vert étant 1,2,3,4 et puis 5 pour le 5 ème jeton etc...
et enfin 2n-1 jetons, avec comme numéro rouge 2n-1, et comme numéro vert 1,2,3,...etc et 2n-1 pour le 2n-1ème.
1) Essayer de trouver un ensemble modélisant l'ensemble des jetons. quel est le cardinal de , c'est à dire combien y a t-il de jetons dans l'urne?
2) pour k, on note Rkl'évènement "tirer un jeton dont le numéro écrit en rouge est k". Quelle est la probabilité de l'évènement Rk?
3) Vérifier par le calcul et à l'aide de la valeur trouvée en 2) que kP(Rk)=1
4)Pour j, on note Vjnement "tirer un jeton dont le numéro vert est j". Quel est pour k et j le probabilité de l'évènement RkVj?
5)Montrer que j, Vj=(pour k allant de 0 à +)(RkVj)
6) En déduire que j{1,2,..,2n-1}, P(Vj=1/n2(n-E(j/2)), où E désigne la partie fonction "partie entière".

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 07:32

Bonjour,

1) Alors, combien de jetons y a-t-il dans l'urne ?

Nicolas

Posté par gui12 (invité)re : probabilité 06-11-06 à 08:37

il y en a n-1k=0 (2k+1) de jetons

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 09:38

C'est-à-dire ?

PS - Tu es vraiment en Première comme l'indique ton profil ?

Posté par
veledare:probabilité 06-11-06 à 10:30

bonjour gui12 et nicolas
>nicolas  gui12 était en première en 2004-2005 donc il a du passer son bac ,j'ai tiqué moi aussi l'exercice n'est pas du niveau première enfin il me semble

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 14:31

Bonjour veleda

1)
Représentons un jeton par un couple (a,b) où a est le n° rouge et b le n° vert.
L'ensemble des jetons est :
\fbox{\Omega=\Bigcup_{k=1}^n\Bigcup_{j=1}^{2k-1}\left\{(k,j)\right\}}
Donc le nombre de jetons est :
\mathrm{card}\Omega=\Bigsum_{k=1}^n\Bigsum_{j=1}^{2k-1}1=\Bigsum_{k=1}^n(2k-1)=2\frac{n(n+1)}{2}-n
\fbox{\mathrm{card}\Omega=n^2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 14:42

2) Le tirage de chaque jeton est équiprobable.
Nombre de cas favorables = nombre de jetons où le n° rouge est k = k. Donc :
\fbox{\mathbb{P}(R_k)=\left\{\begin{array}{ll} \\ \frac{k}{n^2} & \mathrm{si\ }k\mathrm{\ impair\ et\ }1\le k\le 2n-1\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\right.}

3)
\Bigsum_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{P}(R_k)=\Bigsum_{j=1}^n\mathbb{P}(R_{2j-1})=\Bigsum_{j=1}^n\frac{2j-1}{n^2}=\frac{1}{n^2}\left(2\frac{n(n+1)}{2}-n\right)=1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 15:03

4)

Première méthode :
Cela revient à la probabilité de tirer un jeton donné parmi tous.
\mathbb{P}(R_k\cap V_j)=\left\{\begin{array}{ll} \\ \frac{1}{\mathrm{card}\Omega} & \mathrm{si\ }k\mathrm{\ impair\ et\ }1\le k\le 2n-1\mathrm{\ et\ }1\le j\le k\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\right.
\fbox{\mathbb{P}(R_k\cap V_j)=\left\{\begin{array}{ll} \\ \frac{1}{n^2} & \mathrm{si\ }k\mathrm{\ impair\ et\ }1\le k\le 2n-1\mathrm{\ et\ }1\le j\le k\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\right.}

Deuxième méthode :
\mathbb{P}(R_k\cap V_j)=\mathbb{P}(V_j/R_k).\mathbb{P}(R_k)=\left\{\begin{array}{ll} \\ \frac{1}{k}\times\frac{k}{n^2} & \mathrm{si\ }k\mathrm{\ impair\ et\ }1\le k\le 2n-1\mathrm{\ et\ }1\le j\le k\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\right.
\fbox{\mathbb{P}(R_k\cap V_j)=\left\{\begin{array}{ll} \\ \frac{1}{n^2} & \mathrm{si\ }k\mathrm{\ impair\ et\ }1\le k\le 2n-1\mathrm{\ et\ }1\le j\le k\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\right.}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 15:04

5)
\fbox{V_j=\Bigcup_{k=0}^{+\infty}(R_k\cap V_j)}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 06-11-06 à 15:11

6)
Soit j\in|[1;2n-1]|
\begin{array}{rcl} \\ \mathbb{P}(V_j) &=& \Bigsum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(R_k\cap V_j)\\ \\ &=& \Bigsum_{j\le k\le 2n-1\\k\mathrm{\ impair}}\mathbb{P}(R_k\cap V_j)\\ \\ &=& \Bigsum_{2.E\left(\frac{j}{2}\right)+1\le k\le 2n-1\\k\mathrm{\ impair}}\mathbb{P}(R_k\cap V_j)\\ \\ &=&\Bigsum_{p=E\left(\frac{j}{2}\right)+1}^n\mathbb{P}(R_{2p-1}\cap V_j)\\ \\ &=&\Bigsum_{p=E\left(\frac{j}{2}\right)+1}^n\frac{1}{n^2}\\ \\ \end{array}
\fbox{\mathbb{P}(V_j)=\frac{n-E\left(\frac{j}{2}\right)}{n^2}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilité 11-11-06 à 03:31

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