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Probabilité 2'

Posté par
Mathes1 24-03-23 à 18:13

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Dans une urne,il y a n boules indiscernable au toucher et numéroté de 1 à n. On effectue des tirages successifs avec remise , jusqu'à obtenir la boule qui porte le numéro 1
Soit X la variable aléatoire qui désigne le nombre de tirage effectué.
1) la loi de probabilité de X
2) calculer la probabilité que le nombre de Boule tirées soit égal à 10
3) calculer la probabilité que le nombre de Boules tirées soit inférieur ou égal à 31
4) l'espérance E(X) et la variance V(X)
---------------------------------------
Alors je propose
1)Pour déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule numérotée 1, on peut utiliser la méthode des probabilités conditionnelles.

Soit pk=P(X=k) la probabilité de tirer la boule numéro 1 au k-ème tirage, pour k compris entre 1 et n. On a p1=P(X=1) = 1/n, car la boule numéro 1 est la première boule tirée avec probabilité 1/n. Pour k > 1, la probabilité de tirer la boule numéro 1 au k-ème tirage dépend du fait que la boule numéro 1 n'a pas été tirée lors des k-1 premiers tirages. La probabilité de cette situation est P(X>1)=(n-1)/n, car il y a n-1 boules autres que la boule numéro 1 dans l'urne après le premier tirage
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 24-03-23 à 18:34

salut

pourquoi ne pas calculer simplement et directement P(X = k) ?

et pourquoi k ne varierait qu'entre 1 et n ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilité 2' 24-03-23 à 20:59

Bonsoir,
Je me permets un conseil :
Tu as calculé P(X = 1).
Calcule P(X =2) puis P(X = 3). Tu devrais alors voir ce qu'est P(X = k).

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 24-03-23 à 22:30

Bonjour
La probabilité P(X=2) correspond à la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au deuxième tirage. Pour cela, il faut d'abord que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors du premier tirage, avec une probabilité de (n-1)/n (car il y a n boules au total et une seule boule numéro 1). Ensuite, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du deuxième tirage, avec une probabilité de 1/(n-1) (car il y a maintenant n-1 boules restantes dans l'urne, dont une boule numéro 1). On multiplie ces deux probabilités pour obtenir P(X=2) = (n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n.

De la même manière, la probabilité P(X=3) correspond à la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage. Pour cela, il faut d'abord que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors du premier tirage, avec une probabilité de (n-1)/n, puis que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors du deuxième tirage (car sinon le jeu se serait arrêté), avec une probabilité de (n-2)/(n-1). Enfin, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du troisième tirage, avec une probabilité de 1/(n-2). On multiplie ces trois probabilités pour obtenir P(X=3) = (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * 1/(n-2) = 1/n.

En général, la probabilité P(X=k) correspond à la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au k-ème tirage. Pour cela, il faut d'abord que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors des k-1 premiers tirages, avec une probabilité de (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * ... * (n-k+2)/(n-k+3). Ensuite, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du k-ème tirage, avec une probabilité de (n-k+1)/(n-k+2). On multiplie ces k-1 premières probabilités et cette dernière probabilité pour obtenir la formule générale de P(X=k) = (n-k+1)/n * (k-2)/(n-1)
Merci à tous

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 24-03-23 à 22:39

Mathes1 @ 24-03-2023 à 22:30

De la même manière, la probabilité P(X=3) correspond à la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage. Pour cela, il faut d'abord que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors du premier tirage, avec une probabilité de (n-1)/n, puis que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors du deuxième tirage (car sinon le jeu se serait arrêté), avec une probabilité de (n-2)/(n-1).  faux

Enfin, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du troisième tirage, avec une probabilité de 1/(n-2). faux


Mathes1 @ 24-03-2023 à 18:13


•Dans une urne,il y a n boules indiscernable au toucher et numéroté de 1 à n. On effectue des tirages successifs avec remise , jusqu'à obtenir la boule qui porte le numéro 1
donc quel que soit le tirage la probabilité de :
- tirer la boule numéro 1 est  .... ?
- ne pas tirer la boule numéro 1 est .... ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 24-03-23 à 22:55

Bonjour
la probabilité P(X=3) correspond à la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage. Pour cela, il faut d'abord que la boule numéro 1 ne soit pas tirée lors des deux premiers tirages, avec une probabilité de (n-1)/n * (n-2)/(n-1) = (n-2)/n. Ensuite, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du troisième tirage, avec une probabilité de 1/(n-2). Donc la probabilité P(X=3) est :

P(X=3) = (n-2)/n * 1/(n-2) = 1/n
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 24-03-23 à 23:39

toujours faux ...

lis-tu ce qu'on t'écrit ?

carpediem @ 24-03-2023 à 22:39



Mathes1 @ 24-03-2023 à 18:13


•Dans une urne,il y a n boules indiscernable au toucher et numéroté de 1 à n. On effectue des tirages successifs avec remise , jusqu'à obtenir la boule qui porte le numéro 1
donc quel que soit le tirage la probabilité de :
- tirer la boule numéro 1 est  .... ?
- ne pas tirer la boule numéro 1 est .... ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 24-03-23 à 23:44

Bonjour
pour la probabilité P(X=3), il y a deux façons possibles d'obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage :

La boule numéro 1 n'a pas été tirée lors des deux premiers tirages, avec une probabilité de (n-1)/n * (n-2)/n. Ensuite, la boule numéro 1 est tirée lors du troisième tirage, avec une probabilité de 1/n. Donc la probabilité P(X=3) est :
P(X=3) = (n-1)/n * (n-2)/n * 1/n = (n-2)/(n^3)

La boule numéro 1 a été tirée lors du deuxième tirage, avec une probabilité de 1/n. Ensuite, la boule numéro 1 est tirée lors du troisième tirage, avec une probabilité de 1/n. Donc la probabilité P(X=3) est :
P(X=3) = (n-1)/n * 1/n * 1/n = (n-1)/(n^3)

En ajoutant ces deux probabilités, on obtient :

P(X=3) = (n-2)/(n^3) + (n-1)/(n^3) = (2n-3)/(n^3)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilité 2' 25-03-23 à 09:04

Citation :
il y a deux façons possibles d'obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage
Non.
Il y en aurait plus de 2 avec ce que tu écris en dessous.
Pourquoi pas la boule 1 dès le 1er tirage ?
Et le reste est faux aussi.

Tu n'as toujours pas lu correctement l'énoncé :
"tirages successifs avec remise, jusqu'à obtenir la boule qui porte le numéro 1."

Commence par compléter cet extrait très clair d'un message de carpediem :
Citation :
donc quel que soit le tirage la probabilité de :
- tirer la boule numéro 1 est .... ?
- ne pas tirer la boule numéro 1 est .... ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 12:52

Bonjour
Si on tire avec remise jusqu'à obtenir la boule numéro 1, alors la probabilité de tirer la boule numéro 1 à chaque tirage est toujours la même, soit 1/n.
Donc la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au k-ème tirage est donnée par :
P(X=k) = (1/n)^(k-1) * (n-1)/n
Pour k = 1, on obtient P(X=1) = 1/n, car la boule numéro 1 est obtenue dès le premier tirage.
Pour k = 2, on obtient P(X=2) = (1/n) * (n-1)/n = (n-1)/n^2, car il faut d'abord obtenir une boule différente de la boule numéro 1 au premier tirage, avec une probabilité de (n-1)/n, puis obtenir la boule numéro 1 au deuxième tirage, avec une probabilité de 1/n.

Pour k = 3, on obtient P(X=3) = (1/n)^2 * (n-1)/n = (n-1)/n^3, car il faut d'abord obtenir une boule différente de la boule numéro 1 aux deux premiers tirages, avec une probabilité de ((n-1)/n)^2, puis obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage, avec une probabilité de 1/n.

En général, pour k ≥ 1, on a :

P(X=k) = (1/n)^(k-1) * (n-1)/n
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 25-03-23 à 13:01

Mathes1 @ 25-03-2023 à 12:52

Si on tire avec remise jusqu'à obtenir la boule numéro 1, alors la probabilité de tirer la boule numéro 1 à chaque tirage est toujours la même, soit 1/n. ok
Donc la probabilité d'obtenir la boule numéro 1 au k-ème tirage est donnée par :
P(X=k) = (1/n)^(k-1) * (n-1)/n  faux

Pour k = 3, on obtient P(X=3) = (1/n)^2 * (n-1)/n = (n-1)/n^3, faux !! et contradictoire avec ...

car il faut d'abord obtenir une boule différente de la boule numéro 1 aux deux premiers tirages, avec une probabilité de ceci((n-1)/n)^2, puis obtenir la boule numéro 1 au troisième tirage, avec une probabilité de 1/n.

En général, pour k ≥ 1, on a :  P(X=k) = (1/n)^(k-1) * (n-1)/n  ceci signifie que tu as tiré k - 1 fois la boule 1 et une fois une boule qui n'est pas 1 ...

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 13:35

Bonjour
Pour P(X=3), la probabilité est :
P(X=3) = ((n-1)/n)^2 * (1/n) = (n-1)^2/n^3.

Pour P(X=k), avec k ≥ 1, la probabilité est :
P(X=k) = ((n-1)/n)^(k-1) * (1/n)

Cela signifie que pour obtenir la boule numéro 1 au k-ème tirage, il faut d'abord tirer une boule différente de la boule numéro 1 aux k-1 premiers tirages, avec une probabilité de ((n-1)/n)^(k-1), puis obtenir la boule numéro 1 au k-ème tirage, avec une probabilité de 1/n.
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 25-03-23 à 14:20

enfin !!

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 14:39

Bonjour
Pour la 2)
Pour déterminer la probabilité que le nombre de boules tirées soit égal à 10, il faut trouver la probabilité que la boule numéro 1 soit tirée pour la première fois au dixième tirage, et qu'elle ne soit pas tirée lors des 9 premiers tirages.

La probabilité de ne pas tirer la boule numéro 1 lors d'un tirage est de (n-1)/n, et cela doit se produire 9 fois de suite, donc la probabilité de ne pas tirer la boule numéro 1 lors des 9 premiers tirages est :

[(n-1)/n]^9

Ensuite, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du dixième et dernier tirage, avec une probabilité de 1/n.

La probabilité que la boule numéro 1 soit tirée pour la première fois au dixième tirage est donc :

[(n-1)/n]^9 * 1/n

Cette formule donne la probabilité que le nombre de boules tirées soit exactement égal à 10.
Pour déterminer la probabilité que le nombre de boules tirées soit égal à 10, il faut trouver la probabilité que la boule numéro 1 soit tirée pour la première fois au dixième tirage, et qu'elle ne soit pas tirée lors des 9 premiers tirages.

La probabilité de ne pas tirer la boule numéro 1 lors d'un tirage est de (n-1)/n, et cela doit se produire 9 fois de suite, donc la probabilité de ne pas tirer la boule numéro 1 lors des 9 premiers tirages est :
[(n-1)/n]^9
Ensuite, il faut que la boule numéro 1 soit tirée lors du dixième et dernier tirage, avec une probabilité de 1/n.
La probabilité que la boule numéro 1 soit tirée pour la première fois au dixième tirage est donc :
P(X=10)=[(n-1)/n]^9 * 1/n
Cette formule donne la probabilité que le nombre de boules tirées soit  égal à 10.
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 25-03-23 à 14:50

pourquoi toute cette tirade une fois que tu as

Mathes1 @ 25-03-2023 à 13:35

la probabilité est :
P(X=k) = ((n-1)/n)^(k-1) * (1/n)
et qu'il suffit de prendre k = 10 ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 15:07

Bonjour
Désolé
P(X=10)=\left( \dfrac{n-1}{n}\right)^{9}*\dfrac{1}{n}
3)
Pour calculer la probabilité que le nombre de boules tirées soit inférieur ou égal à 31, on peut utiliser la formule suivante :
P(X ≤ 31) = 1 - P(X > 31)
où P(X > 31) est la probabilité que le nombre de boules tirées soit strictement supérieur à 31.
Pour calculer P(X > 31), on peut remarquer que cela revient à tirer 31 fois une boule différente de la boule numéro 1, et ensuite tirer la boule numéro 1. On a donc :
P(X > 31) = ((n-1)/n)^31 * 1/n
Ainsi, on a :
P(X ≤ 31) = 1 - P(X > 31) = 1 - ((n-1)/n)^31 * 1/n

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 25-03-23 à 17:37

mais pourquoi passes-tu par l'événement contraire ??

on l'aurait évidemment fait pour calculer P(X > 31) mais évidemment pas pour calculer P(X 31)

écris proprement ce qu'est P(X 31) puis regarde et vois ce que tu as appris en première !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilité 2' 25-03-23 à 17:58

Je ne suis pas d'accord avec ceci :

Citation :
Pour calculer P(X > 31), on peut remarquer que cela revient à tirer 31 fois une boule différente de la boule numéro 1, et ensuite tirer la boule numéro 1.
C'est :
Pour calculer P(X > 31), on peut remarquer que cela revient à tirer 31 fois une boule différente de la boule numéro 1, et ensuite tirer n'importe quoi.
Et passer par cet événement contraire n'est pas une mauvaise idée.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 18:21

Bonjour
La probabilité de tirer une boule différente de la boule numéro 1 est (n-1)/n, donc la probabilité de tirer une boule différente de la boule numéro 1 lors de 31 tirages successifs est ((n-1)/n)^31. Ensuite, la probabilité de tirer n'importe quoi est simplement 1/n. Donc la probabilité que le nombre de boules tirées soit strictement supérieur à 31 est :

P(X > 31) = ((n-1)/n)^31 * 1/n

On peut donc calculer la probabilité que le nombre de boules tirées soit inférieur ou égal à 31 en utilisant la formule :

P(X ≤ 31) = 1 - P(X > 31) =
1 - ((n-1)/n)^31 * 1/n
Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilité 2' 25-03-23 à 18:41

Citation :
Ensuite, la probabilité de tirer n'importe quoi est simplement 1/n.
Non. la probabilité de tirer n'importe quoi est simplement 1.

Si la boule 1 n'a pas été tirée lors des 31 premiers tirages, on fait un 32ème tirage.
Inutile de s'intéresser au résultat de ce 32ème tirage. Le nombre de tirages sera de toutes façons supérieur ou égal à 32 ; donc supérieur strict à 31.

Bref, le nombre de tirage est supérieur strict à 31 si et seulement si les 31 premiers tirages ne donnent jamais 1.

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 20:51

Bonjour
Alors
P(X≤31) = 1 - P(X>31) = 1 - ((n-1)/n)^31.
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 25-03-23 à 21:19

dommage de ne pas faire le calcul direct pour réviser ses apprentissages de première ...

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 25-03-23 à 22:14

Bonjour
Voici le calcul direct :
P(X ≤ 31) = Σ(k=1 to 31) [(n-1)/n]^(k-1) * (1/n)
= (1/n) * n/(n-1)*[(1 - ((n-1)/n)^31) / (1 - (n-1)/n)]
= \dfrac{n}{(n-1)}-\dfrac{(n-1)^{30}}{n^{30}}
Je trouve pas même chose

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 26-03-23 à 09:50

en tout cas c'est l'idée : reconnaitre la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison (n - 1)/n

seulement il y a des fautes de calcul : on factorise par 1/n ok mais d'où sort ce facteur n/(n - 1) ?

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 26-03-23 à 12:54

Bonjour
P(X≤31)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{31}\left(\dfrac{n-1}{n} \right)^{k-1}
=\dfrac{1}{n}\sum_{l=0}^{30}\left(\dfrac{n-1}{n} \right)^{l}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1-(\dfrac{n-1}{n})^{31}}{1-\dfrac{n-1}{n}} \right)
=1-\left(\dfrac{n-1}{n} \right)^{31}
Merci

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 26-03-23 à 15:18

Bonjour
Si c'est correct je passe à 4)
L'espérance :
E(X)=\sum_{k=1}^{n}k *P(X=k)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k(\dfrac{n-1}{n})^{k-1}
Une indication s'il vous plaît merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 26-03-23 à 15:50

\sum kx^{k - 1} est la dérivée de \sum x^k en étant extrêmement rigoureux sur les bornes

puis prendre x = (n - 1)/n

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 26-03-23 à 17:36

Bonjour
on a :

\sum_{k=1}^{n} k(\frac{n-1}{n})^{k-1} = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{n-1}{n})^k \Bigg|{x=\frac{n-1}{n}} = \frac{d}{dx} \frac{1-(\frac{n-1}{n})^n}{1-\frac{n-1}{n}} \Bigg|{x=\frac{n-1}{n}}
Pour simplifier cette expression, on utilise la formule de la somme géométrique :

\sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{1-x^n}{1-x}

En dérivant cette expression par rapport à x, on obtient :

\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = \frac{d}{dx} \frac{1-x^n}{1-x} =- \frac{n x^{n-1}}{1-x} +\frac{(1-x^n)}{(1-x)^2}

En remplaçant x par \frac{n-1}{n}, on obtient :

\sum_{k=1}^{n} k(\dfrac{n-1}{n})^{k-1}=n²\left( 1-\left( \right\dfrac{n-1}{n})^n*\dfrac{2n-1}{n-1}\right)


Ainsi, on a :

E(X) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k(\frac{n-1}{n})^{k-1} = \frac{1}{n}n²\left( 1-\left( \right\dfrac{n-1}{n})^n*\dfrac{2n-1}{n-1}\right)

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 26-03-23 à 17:47

il me semble qu'il y a des erreurs dans les indices ...

f(x) = \sum_0^n x^k \\ \\ f'(x) = ...

et ton espérance est fausse !!

Mathes1 @ 26-03-2023 à 15:18

E(X)=\sum_{k=1}^{n}k *P(X=k)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k(\dfrac{n-1}{n})^{k-1}
pourquoi sommes-tu que jusqu'à n ?

cette somme varie de 1 à +oo !! (tu peux très bien ne jamais tirer la boule numéro 1 comme la tirer à n'importe quel tirage)

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 26-03-23 à 17:48

donc
f(x) = \sum_0^{+\infty} x^k \\ \\ f'(x) = ...

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 26-03-23 à 23:20

Bonjour
f'(x) = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 26-03-23 à 23:59

Bonjour

\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}

En dérivant cette expression par rapport à x, on obtient:

\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}

--------------------

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty} k \left(\frac{n-1}{n}\right)^{k-1} &= \frac{1}{(1-\frac{n-1}{n})^2} = n^2 \end{aligned}

Ainsi, on a :

\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{\infty} kP(X=k) \ &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{\infty} k \left(\frac{n-1}{n}\right)^{k-1} \ &= \frac{1}{n} \cdot n^2= n\end{aligned}

Posté par
Mathes1re : Probabilité 2' 27-03-23 à 18:17

Bonjour
Et puisque la loi X suit la loi géométrique de paramètres 1/n
Alors Variance de X est V(X)=\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n²}}=\dfrac{n-1}{n}*n²=n(n-1)
Merci

Posté par
carpediemre : Probabilité 2' 27-03-23 à 19:31

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilité 2' 27-03-23 à 21:01

Deux remarques maintenant que l'exercice est terminé.

Il aurait été plus judicieux d'inverser dans l'énoncé l'ordre des deux premières questions.

On peut vérifier que la somme des P(X = k) trouvés donne bien 1


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