On désigne un entier supérieur ou égal à 2.
Toutes les variables aléatoires, considérées dans chaque partie de ce problème, sont des variables aléatoires d"finies sur un même espace de probabilité.
Si X et Y sont des variables aléatoires admettant des
moments d'ordre 1 et 2, E(X) désigne l'espérance de X, V(X) sa variance et Cov(X,Y) la covariance de X et de Y.
Un gestionnaire investit un capital parmi n actifs, notés A1, A2, ... , An , disponibles sur le marché boursier. Les rendements à un an de ces actifs, exprimés en pourcentage, sont des variables aléatoires R1, R2, ..., Rn admettant des moments d'ordre 1 et 2.
pour ce qui reste n vaut 2 et les rendements des actifs A1 et A2 sont notés respectivement X et Y.
1)- On suppose que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes telles que: V(X)=2, V(Y)=4.
a)- Pour un réel a de [0,1] on considère le portefeuille (a; 1-a) de rendement R. Calculez V(R).
b)- On définit sur |R la fonction h par h(x)= 6x²-8x+4.
En étudiant les variations de h sur [0,1], montrer qu'il existe un unique portefeuille à déterminer dont le rendement est de variance minimale.
2) a)- Soit N un entier non nul et Z une variable aléatoire de loi uniforme sur [1,N] (intersection) |N
Donnez la valeur de E(Z) et calculez V(Z).
b)- on suppose que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi uniforme sur [1,5] "intersection" |N et Y la loi uniforme sur [1,7] "intersection" |N.
- donnez les valeurs de E(X), V(X), E(Y), V(Y)
c)- Calculez P(2X+Y -< 8). On considère le portefeuille dont le rendement R0 est la variance minimale.
Calculez la probabilité que ce rendement R0 soit supérieur ou égal à 3.
3)- On suppose dans cette question que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi de Poisson de paramètre 2 et Y la loi de Poisson de paramètre 4.
Notre gestionnaire, tjr prudent, veut de plus constituer un portefeuille dont le rendement est en moyenne supérieur ou égal à 3.
a)- Montrer que, parmi les portefeuilles dont le rendement R vérifie : E(R) -> 3, celui dont le rendement est de variance minimale est (1/2 , 1/2). On note R0 le rendement de ce portefeuille.

b)- Calculez la probabilité que ce rendement R0 soir supérieur ou égal à 3.


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Pour vous aider voilà les solution que j'ai pu trouver jusque là:

1)a)R=a*X+(1-a)*Y
V(R)=V(a*X+(1-a)*Y)
=a^2*V(X)+(1-a)^2*V(Y) (X et Y INDEPENDANTES)
=2*a^2+4*(1-a)^2
=6*a^2-8*a+4
V(R)=h(a)
b)Ca roule:
h'(x)=12*x-8
d'où minimum pour x=2/3 et h(2/3)=4/3.
Le portefeuille R(2/3,1/3) est de variance minimale: V(R)=4/3

2)Z---U [[1,n]], donc:
pour tout k de [[1,n]]: P[x=k]=1/n
et:
E(Z)=Som[k/n,{k,1,n}]=1/n*(n+1)/2
E(Z)=(n+1)/2

E(Z^2)=Som[k^2/n,{k,1,n}]=((n)*(n+1)*(2n+1))/(6*n)
V(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^
=((n+1)*(2n+1))/6 - ((n+1)^2)/4
V(Z)=(n^2 - 1)/12.


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la continuité de l'exo de recherche précédent .
partie 2:
Dans cette partie, n vaut 2 et les rendements des actifs A1 et A2 sont notés respectivement X et Y.
On suppose: V(X)=12 , V(Y)=3, Cov(X,Y)=c , où un réel donné.
Pour un réel a de [0,1], on considère le portefeuille (a, 1-a) dont le rendement est la variable aléatoire R=aX + (1-a)Y

1- Prouvez que |c| -< 6
2- On définit sur |R la fct h(x)= (15-2c)x²+2(c-3)x+3. Etudiez les variations de h sur [0,1], en distinguant les deux cas c de [-6,3] et c de [3,6].
3- Prouvez que V(R)=h(a) et en déduire qu'il existe un unique portefeuille dont le rendement est de variance minimale. On déterminera ce portefeuille en fonction de c.
4- On suppose  dans cette question que X et Y sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, X de moyenne égale à 6 et de variance égale à 12, Y de moyenne égale à 3 et de variance égale à 3.
Soit R le rendement du portefeuille (1/5, 4/5) , quelle est la loi de R? Calculez la probabilité que R soit supérieur ou égal à 4.



merci d'avance