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probabilité

Posté par
Indu 13-12-11 à 23:20

Bonjour,

Soit (X_k) une suite de variables aléatoires indépendantes, telle que pour tout k \in \mathbb{N^*}, X_k suit une loi uniforme sur l'intervalle [-k;k]. Pour n \in \mathbb{N^*} on note S_n = X_1+X_2+...+X_n et \phi_{S_n} sa fonction caractéristique.

Montrer l'équivalence ln\left(\phi_{\frac{S_n}{n^{3/2}}}(u)\right) \underset{+\infty}{\sim} - \sum_{k=1}^n {\frac{u^2}{6n^3}k^2}

Est-ce que on peut dire que \frac{S_n}{n^{3/2}} suit la loi uniforme comme étant combinaison linéaire de X_k?
Dans ce cas comment obtenir sa densité ? s'il vous plaît.

Merci d'avance.

Posté par
PILre : probabilité 14-12-11 à 05:33

Bonjour,

Sn/(n3/2)  ne suit pas une loi uniforme.
Prends le cas particulier n = 2  :  S2 = X1 + X2 . Tu obtiens la densité  g2(s)  de  S2  en calculant le produit de convolution des densités f1(x) et  f2(x) de  X1 et X2.

  g_2(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)f_2(s-x)dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{+1} f_2(s-x)dx

avec  f_2(s-x) = 0  pour  x < s-2,  ... = 1/4  pour  s-2 < x < s+2,  ... = 0  pour  s+2 < x .

On obtient  g_2(s) = 0  si  s < -3,   ... = (s+3)/8  si  -3 < s < -1,  ... = 1/4  si  -1 < s < 1,  ... = (-s+3)/8  si  1 < s < 3  et  ... = 0    si   s > 3 .

Mais n'essaie pas de calculer la densité de Sn  dans le cas général !
Pense plutôt au théorème central-limite ...


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