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Probabilité

Posté par
elgrando2001 20-01-23 à 17:55

Bonjour , s il vous plait aidez moi pour resoudre cette exercice , Le temps T qui sépare le passage de deux bateaux dans un canal suit la loi exponentielle de paramètre > 0 On désigne par Xn la variable aléatoire égale au temps qu'il faut attendre pour n bateaux, et on note par fn la densité de probabilité de la variable Xn

1. De façon générale et pour deux variables aléatoires indépendantes continues à valeurs réelles positives, soient X et Y de densités de probabilités respectives f(x) et g(y) montrer que la somme Z = X + Y a pour densité de probabilité

h(z) = integrate f(z - x) * g(x) dx from 0 to z

2. Trouver une relation entre fn et fn+1 . En déduire, l'expression de fn en fonction de n et

3. Soit Fn la fonction de répartition de la variable Xn .Établir une relation qui existe entre Fn et Fn+1

4) On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de bateaux qui se sont présentés pendant un intervalle de temps d'amplitude (où de langueur) t0. Exprimer la probabilité P([Y = n]) en fonction des fonctions de répartition Fn et Fn+1 En déduire la loi de Y

Posté par
verdurinre : Probabilité 20-01-23 à 18:33

Bonsoir,
la question 1. est une question de cours.
Pour la question 2. on applique le résultat de la question précédente :

\begin{aligned}f_{n+1}(x)=\int_0^x f_1(x-t)f_n(t)\,\text{d}t\end{aligned}

Posté par
elgrando2001re : Probabilité 20-01-23 à 18:49

Rebonsoir

Des astuces pour repondre a la premiere question de cours ?

Posté par
Ulmierere : Probabilité 20-01-23 à 19:31

Y'a plein de façons de faire, plus ou moins équivalentes d'après le théorème Portemanteau.

Par exemple, soit t un réel positif,

P(X+Y > t) = E(P(X+Y > t | X)) = E(P(Y > t-X | X)) = E(1-F_Y(t-X)) parce que Y est indépendante de X.

Ainsi 1-F_{X+Y}(t) = 1 - E(F_Y(t-X)).
On peut dériver sous l'espérance (pourquoi ?) et en déduire (théorème de transfert) que f_{X+Y}(t) = E(f_Y(t-X)) = \int f_Y(t-x)P_X(dx) = \int f_Y(t-x)f_X(x)dx = (f_Y \ast f_X)(t).

-----------

Autre méthode : utiliser la tranformée de Fourier.
E(e^{it(X+Y)}) = E(e^{itX}e^{itY}) = E(e^{itX})E(e^{itY}) parce que e^{itX} et e^{itY} sont des fonctions mesurables de X et Y, donc indépendantes.
Ensuite, il s'agit simplement de savoir que la transformée de Fourier d'une produit de convolution est le produit (multiplicatif) des transformées de Fourier.
Ce qui se démontre grâce au théorème de Fubini.


-----------

Ou encore, peut-être plus clair mais plus long : soit f une fonction continue bornée. Comme X et Y sont indépendantes, P_{(X,Y)} = P_X\otimes P_Y donc, en notant f la fonction (x,y)\mapsto x+y (l'opération +)

\begin{array}{lcl} \\ E(f(X+Y)) &=& E((f\circ g)(X,Y)) \\ &=& \int_\Omega (f\circ g)(X(\omega),Y(\omega)) P(d\omega) \\ &=& \int_\Omega (f\circ g)((X,Y)(\omega)) P(d\omega) \\ &=& \int_{\R^2} (f\circ g)(u) P_{(X,Y)}(du) \\ &=& \int_{\R^2} (f\circ g)(u) (P_X\otimes P_Y)(du) \\ &=& \int_\R \int_\R (f\circ g)(x,y) P_X(dx)P_Y(dy) \\ &=& \int_\R \int_\R (f\circ g)(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy \\ &=& \int_\R \int_\R f(x+y) f_X(x)f_Y(y)dxdy \\ \end{array}

reste enfin à faire le changement de variable (v, t) = (x, x+y), C^1-difféomorphisme de déterminant Jacobien 1

E(f(X+Y))  = \int_\R \int_\R f(t) f_X(v)f_Y(t-x)dvdt

Ce qui montre que la v.a X+Y est à densité f_X\ast f_Y

Posté par
Ulmierere : Probabilité 20-01-23 à 19:37

Tout à la fin, c'est bien-sûr f_Y(t-v) sous l'intégrale, j'ai oublié de changer un x en v

La conclusion vient du fait que

\int_\R \int_\R f(t) f_X(v)f_Y(t-v)dvdt = \int_\R f(t)\left(\int_\R f_X(v)f_Y(t-v)dv\right)dt = \int_\R f(t)(f_X\ast f_Y)(t)dt

Posté par
elgrando2001re : Probabilité 21-01-23 à 16:21

Merci beaucoup pour la reponse , en ce qui concerne le restes des question , vous avez plus de clarification je serais reconnaissant , pour la deuxieme question je sais pas par quoi je dois remplace le f1(x-t)

Posté par
verdurinre : Probabilité 21-01-23 à 17:01

Le temps à attendre pour voir un bateau suit une loi exponentielle de paramètre .

f_1(t)=\lambda\mathsf{e}^{-\lambda t}

Posté par
verdurinre : Probabilité 21-01-23 à 17:12

Une remarque :
l'énoncé que tu donnas ne précise pas que les temps d'attente entre deux bateaux sont indépendants, mais vu la question 1. ils sont certainement considérés comme indépendants.

Tu peux commencer par calculer

\begin{aligned}f_{2}(x)=\int_0^x \lambda\mathsf{e}^{-\lambda (x-t)}\cdot \lambda\mathsf{e}^{-\lambda t}\,\text{d}t\end{aligned}

Posté par
verdurinre : Probabilité 21-01-23 à 20:44

Ça  fait toujours un peu de peine de rencontrer des gens comme elgrando2001.

Posté par
malou Webmasterre : Probabilité 21-01-23 à 21:20

Oui, effectivement ...
Bonne soirée verdurin


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