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Probabilité

Posté par
DDb 30-09-23 à 17:54

Bonjour,

J'ai un exercice à résoudre dont voici l'énoncé sur lequel je rencontre des difficultés :

Cinq personnes sont invitées à une fête en l'honneur d'un officiel, la fête débute au temps t = 0. Les temps d'arrivée de ces cinq
invités sont des variables aléatoires indépendantes avec moyenne commune égale à 2, et le temps d'arrivée de l'officiel est une variable aléatoire exponentielle avec moyenne égale à 1. Si X désigne le nombre d'invités qui arrivent après l'officiel, évaluez
E (X|X<2).

Pour résoudre cela, j'ai essayé de conditionner l'évènement sur le temps d'arrivé de l'officiel sachant que la probabilité est connue car suivant une loi exponentielle.  Mais je n'arrive pas à trouver l'espérance demandée, quelqu'un aurait une idée ?

Merci.

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 10:56

Bonjour,

On ne te dit rien dans l'énoncé sur la loi du temps d'arrivée des invités ? N'aurais-tu pas oublié "exponentielles" ?
À part cela, E(X|X<2) s'exprime facilement en fonction de P(X=0) et P(X=1). Reste à calculer ces probabilités, ce qui nous ramène à la question ci-dessus.

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 12:47

Je vous remercie pour votre réponse. Après vérification de l'énoncé, je n'ai aucune information sur la loi suivie par le temps d'arrivé des invité à part que la moyenne est de 2.

Voila ce que j'ai fait:
P(X=0)  = [smb]integrale)[/[smb]] P(X=0|T=t) P(T=t) dt
or P(T=t) = exp(-t) (loi exponentielle)
P(X=1)  = [smb]integrale[/[smb]] P(X=1|T=t) P(T=t) dt

mais je ne parviens pas à déterminer la valeur de P(X=0|T=t) et de P(X=1|T=t) . J'ai pensé qu'il pourrait s'agir d'une binomiale avec "succès : arriver avant l'officiel" et "échec : arriver après" mais que valent les paramètres de la binomiale ?

Je vous remercie.

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 13:47

Bien que tu ne le dises pas, je comprends que ton T est la variable aléatoire "temps d'arrivée de l'officiel".
On a aussi 5 variables aléatoires U_i pour i=1,\ldots,5 qui sont les temps d'arrivée des invités. Si on n'a pas d'autre information sur ces U_i que le fait qu'elles sont indépendantes et que leur espérance est 2, on ne peut pas calculer : si elles sont uniformes sur [0,4], ou exponentielles de moyenne 2, on n'a pas le même résultat ! C'est une faute de l'énoncé de ne pas préciser leur loi. Le plus vraisemblable est que les U_i suivent aussi une loi exponentielle.
Peux-tu exprimer l'événement X=0 en termes de T et des U_i ? Pareil pour X=1 ?

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 14:31

Oui effectivement, j'ai oublié de le mentionner dans mon message précédent mais T est la variable aléatoire du temps d'arrivé de l'officiel.

Pour les évènements, je pense que l'on peut écrire ainsi :
{x=0} = { Ui <t |T<t}

et {X=1} = [(U_1 >T) (U_2 < T) (U_3 < T) (U_4 < T) (U_5 < T)] [(U_1 < T) (U_2> T) (U_3 < T) (U_4 < T) (U_5 < T)] [(U_1 < T) (U_2 < T) (U_3> T) (U_4 < T) (U_5 < T)] [(U_1 < T) (U_2 < T) (U_3 < T) (U_4 >T) (U_5 < T)] [(U_1 < T) (U_2 < T) (U_3 < T) (U_4 < T) (U_5> T)]

Est-ce exact?

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 14:34

Pour l'évènement {x=0} c'est plutôt un conditionnement sur T=t

{x=0} = { Ui <t |T=t}

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 14:55

Hum...
X=0 ne veut-il pas dire que tous les invités arrivent après l'officiel ?
Ce que tu as fait pour X=1, pourquoi ne le fais-tu pas pour X=0 ?
J'écrirais
\{X=1\}= \bigcup_{i=1}^5\left(\{X_i\leq T\}\cap\bigcap_{j\neq i} \{X_j>T\}\right)

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 15:01

Sachant que X désigne le nombre d'invités qui arrivent après l'officiel, du coup c'est pas plutôt l'inverse ?
X=0 voudrait pas plutôt dire  que tous les invités arrivent avant l'officiel ?

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 18:52

Oui, j'ai confondu "avant" et "après". Mais les changements à faire sont clairs, je te les laisses.
Tout ça se calcule bien si on sait par exemple que les U_i suivent une loi exponentntielle.

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 20:10

Je vous remercie pour votre réponse.
Si on considère que les U_i suivent une loi exponentielle de paramètre 2, voila ce que j'obtiens, est-ce exact ?

P(X=0) = \prod_{i=1}^{5}{P(U_i<t) P(T=t)} = \prod_{i=1}^{5}{exp(-t)(1-exp(-2t))} = exp(-5t) (1-exp(-2t))^5

et P(X=1) = \sum_{i=1}^{5}{(\prod_{i\neq j}^{}{P(X_j<t)P(X_i>t))exp(-t)}} = \sum_{i=1}^{5}{\prod_{i\neq j}^{}{(1-exp(-2t)exp(-2t)) exp(-t)}} = 4(1-exp(-2t))^4 exp(-8t)exp(-t) = 4 (1-exp(-2t))^4exp(-9t)

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 20:29

Tu vois bien que ça ne peut pas aller :ton P(X=0) dépend d'un t !
Pourtant tu as une description en termes d'inégalités entre les U_i et T de l'événement \{X=0\}.
Tu as aussi la desité de probabilité conjointe des T,U_1,\ldots ,U_5. Tout ce qu'il faut pour calculer P(X=0).

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 20:51

Oui pardon effectivement...
En refaisant les calculs voila ce que j'obtiens : P(X_i<T) = \int_{0}^{infini}{ P(X_i<t) P(X=t)} = \int_{0}^{infini}{(1-exp(-2t))exp(-t)} = 2/3
Donc P(X=0) = (2/3)^5

De même P(X=1) = 5*(\frac{2}{3})^4*\frac{1}{3}

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 20:56

Mais alors X suivrait une loi binomiale de paramètre B(5, 2/3) ?

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 20:59

Es-tu sûr que \{X_1<T\} est indépendant de \{X_2<T\} ?

Posté par
DDbre : Probabilité 01-10-23 à 21:06

Dans l'énoncé il est mentionné que les X_i sont indépendants donc j'ai pensé que les évènements {X_1< T}  et {X_2< T} étaient indépendants. N'est-ce pas exact ?

Posté par
GBZMre : Probabilité 01-10-23 à 22:59

T intervient dans les deux événements.
Pense à l'exemple de tirage de 3 dés rouge, vert et bleu. Si le n° tiré par le rouge est plus grand que celui tiré par le bleu, est-ce que ça ne donne pas plus de chances qu'il soit aussi plus grand que celui tiré par le vert ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 00:22

Ah oui je vois le problème...
Du coup est ce que cela marcherait ? :

P(X=k) \int_{0}^{infini}{P(X=k|T=t)P(T=t)}
Or une fois (T=t) fixé, X suit une distribution binomiale de paramètre n=5 et P=\int_{t}^{infini}{2exp(-2k) dk} = exp(-2t)

Donc P(X=k) = \int_{0}^{infini}{(\frac{n!}{k!(n-k)!})(exp(-2t)^k(1-exp(-2t))^{n-k}exp(-t) dt} = 2 \frac{n!}{k!(n-k)!} \int_{0}^{1}{u^{k-1/2} (1-u)^{n-k}du}         ( changement de variable u = exp(-2t))
d'où, P(X=1) = 10\int_{0}^{1}{u^{1/2}(1-u)^{n-k}du}

Puis par calcule du résultat sur le logiciel R, on a P(X=1) = 0,7388

Ainsi, E(X|X<2) = 0,7388

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 00:26

Pour la dernière ligne en remplaçant k=1 et n=5 c'est plutôt ça

P(X=1) = 10\int_{0}^{1}{u^{1/2}(1-u)^{4}du}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 10:03

Non, ça ne va pas.
Quand on tâtonne comme ça, il peut venir à l'idée de faire une simulation, pour voir si on est à côté de la plaque.
Ce n'est pas très difficile de faire une simulation en python, puisqu'on trouve des distributions exponentielles dans son module random : random.expovariate(lambd). Alors allons-y : 

import random as rd

# Une expérience
def unX() :
    T=rd.expovariate(1)
    X=0
    for _ in range(5) :
        U=rd.expovariate(1/2)
        if U>T : X+=1
    return X

# Statistique sur n expériences
def RepX(n) :
    R=6*[0]
    for _ in range(n) :
        R[unX()]+=1
    return R


Regardons la statistique sur 100 000 expériences (ça va vite !) 
%time
RepX(100000)

CPU times: user 4 µs, sys: 0 ns, total: 4 µs
Wall time: 6.91 µs

[4716, 9501, 14562, 18948, 23732, 28541]

Dans environ 9,5% des expériences, on obtient X=1. On est très très loin de ton P(X=1)=0,7388. Tu es donc nettement à côté de la plaque

Reprenons les choses dans l'ordre. Tu as 6 variables aléatoires en jeu, et tu connais leur distribution conjointe. Tu as un événement qui est décrit par une combinaison booléenne d'inégalités portant sur ces variables aléatoires ; cette combinaison d'inégalités décrit un sous-ensemble de \mathbb R^6 (en fait de (\mathbb R_+)^6). La probabilité de cet événement se calcule donc en intégrant la distribution conjointe sur ce sous-ensemble, n'est-ce pas ?

Enfin ton calcul de l'espérance conditionnelle E(X|X<2) ne va pas, ce n'est sûrement pas égal à P(X=1). Reviens à la définition de l'espérance conditionnelle.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 10:58

Je vous remercie pour votre réponse.
Mon problème est que je ne vois pas comment calculer les probabilités conjointes de chacun des évènements (X_i<T) car comme vous me l'avez expliquer ces événements ne sont pas indépendants.

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 11:48

Je ne parle pas de probabilité jointe mais de DENSITÉ jointe (ou conjointe). Puisque les variables aléatoires T,U_1,\ldots,U_5 sont indépendantes, leur densité jointe f(t,u_1,\ldots,u_5) est le produit des densités f_T(t)\times \prod_{i=1}^{5}f_{U_i}(u_i)
Tu ne connais pas cette notion de densité jointe ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 12:18

Je ne connaissais effectivement pas cette notion de densité conjointe.
Mais alors du coup on obtient que :
f(t,u_1,\ldots,u_5) = f_T(t)\times \prod_{i=1}^{5}f_{U_i}(u_i) = 2^5 exp(-t) \prod_{i=1}^{5}{exp(-2U_i)}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 12:28

Pas tout à fait, le \lambda paramètre d'une loi exponentielle n'est pas la moyenne, mais l'inverse de la moyenne.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 12:33

Ah oui donc
f(t,u_1,\ldots,u_5) = f_T(t)\times \prod_{i=1}^{5}f_{U_i}(u_i) = \frac{1}{2^5} exp(-t) \prod_{i=1}^{5}{exp(-\frac{u_i}{2})}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 12:49

Oui.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 12:53

Je viens de reprendre ma méthode précédente mais avec lambda = 1/2 et on obtient bien :
P(X=1) = 10\int_{0}^{1}{u^2 (1-u)^4} = 0,0952
donc comme obtenu sur Python !

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 12:58

Par contre, pour calculer l'espérance, on a bien la formule ? :

E(X|X<2) = \sum_{k=0}^{5}{}{k P(X = k|X<2)}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 13:14

Oui, et ça se simplifie.

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 13:21

Et ton P(X=1) s'écrit plus agréablement comme 2/21.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 13:25

Oui et donc est ce que cela donnerait ?:

E(X|X<2) = P(X=0) + P(X= 1) = \int _0^1\:2u\left(1-u\right)^5du + \int _0^1\:10u^2\left(1-u\right)^4du = 1/21 + 10/105 = 1/7 = 0,1429

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 13:50

Non, tu n'appliques pas bien ta formule.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 13:58

on n'a pas ? :

[tex]E(X|X<2) = \sum_{k=0}^{5}{}{k P(X = k|X<2)} = \sum_{k=0}^{1}{k ( P(X=0) + P(X=1) )}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 14:07

Ta deuxième égalité est fausse.
Commençons par : qu'est-ce que P(A\mid B) ? Qu'est-ce que P(X=k\mid X<2) ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 14:15

Je crois que l'on a :  

P(A\mid B) =\frac{P(A\bigcap{B})}{P(B)}

Donc P(X=k\mid X<2) = \frac{P(X=k\bigcap{X<2)}}{P(X<2)}

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 14:20

Il vaudrait mieux être sûr et connaître à fond cette définition.
Ensuite ? Tu as l'ai d'avoir perdu de vu que X<2, c'est tout simplement X=0 ou X=1.

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 14:21

oups, des coquilles : tu as l'air ...

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 14:43

Oui mais donc on a :

P(X=k\mid X<2) = \frac{P(X=k\bigcap{X<2)}}{P(X<2)} = 7 * P(X=k\bigcap{X<2)}.

Mais que vaut P(X=k\bigcap{X<2)} ? Ne vaut-il pas également P(X<2) ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 14:56

Sinon, au vu de la définition de P(X=k), ne peut on pas dire que X suit une loi Béta incomplète de paramètre (k+2,6-k) donc
E(X|X<2) = E(X=0) + E(X=1) = 2/8 + 3/6 = 0,75 ?

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 14:58

Oh la, ça déraille complètement. Fais un "control reset".
Je répète : \{X<2\}= \{X=0\}\cup \{X=1\} (union disjointe).
Qu'est-ce que l'événement "X=k et X<2" (réponse à donner en fonction de k) ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 15:04

Oui donc
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 1/7  (calculé au dessus)
et :

P(X\bigcap{X}<2)= \sum_{k=0}^{1}{P(X=k)}

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 15:05

Donc l'événement "X=k et X<2" est "x=0 ou X=1"

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 15:12

Ton écriture P(X\cap X<2) n'a pas de sens. Ton "control reset" n'a pas marché.
Ça n'a rien de sorcier, c'est juste du bon sens.
Je répète : décrire l'événement "X=k et X<2" pour k=0,1,...,5.
Pour k)0 c'est ...
Pour k=1 c'est ...
Pour k=2 c'est ...
...

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 15:18

Pour k =0 c'est " aucune personne n'est arrivée après l'officiel"
Pour k=1 c'est "une personne est arrivée après l'officiel"
Pour k=2 c'est " impossible car on a la limitation X<2 "

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 15:32

Autrement dit : pour k=0 c'est X=0, pour k=1 c'est X=1 et pour k >1 c'est le vide.
Bon, maintenant reprends ta formule pour E(X|X<2) et applique-la correctement.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 15:42

On a :

E(X|X<2) = \sum_{k=0}^{5}{}{k P(X = k|X<2)} = \sum_{k=0}^{5}{k * \frac{P(X=k\bigcap{X<2)}}{P(X<2)}} = \frac{P(X=1)}{P(X<2)} = 7*2/21 = 2/3

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 15:49

Ouf !
Mais tout ça, c'est bien sûr en supposant que l'énoncé a oublié de dire que les temps d'arrivée des invités suivent une loi exponentielle.

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 15:52

Enfin !!! Merci beaucoup pour l'aide apporté !

Oui en effet, cela ne marche que si l'énoncé a oublié de mentionné qu'il s'agit de loi exponentiel, mais c'était plus pour comprendre que pour simplement résoudre un exercice.

Merci beaucoup à vous.

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 16:00

Avec plaisir.

Avec python, on peut, en plus de faire une simulation, faire faire le calcul exact en utilisant le module Sympy. 

# Calcul théorique
from sympy import *

t=Symbol('t')

Rth=[binomial(5,k)*integrate(exp(-t)*exp(-t/2)**k\
                            *(1-exp(-t/2))**(5-k),(t,0,oo))
                               for k in range(6)]

for k in range(6) :
    print("Probabilité que X = {} : {}".format(k,Rth[k]))


Probabilité que X = 0 : 1/21
Probabilité que X = 1 : 2/21
Probabilité que X = 2 : 1/7
Probabilité que X = 3 : 4/21
Probabilité que X = 4 : 5/21
Probabilité que X = 5 : 2/7

Posté par
GBZMre : Probabilité 02-10-23 à 16:57

Quand on voit une si belle progression arithmétique, on peut se demander : y a-t-il un moyen d'y arriver plus vite ?

Posté par
DDbre : Probabilité 02-10-23 à 20:35

Ah oui effectivement !
Je ne vois pas comment on aurait pu le "voir" avant ?


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