J'ai supposé que X est une v.a.r discréte, X est l'année ou une machine tombe en panne donc Omega(X)={1,2,3,4}.
A partir des valeur données ( 1/6 . 13/20 . 6/7 . 1 ) j'ai detérminé la loi de probabilité ( f(x)=P(X=x) ) comme suit: si on prend 100 machines neuves au depart:
100*1/6 = 16,66 tombent en panne la premiere année  -> reste 100-16,66=85,33
85,33*13/20 = 54,16   "      "      "      "  deuxieme année ->   "      85,33-54,16=29,16
29,16*6/7 = 24,99        "      "      "      "  troisième année->    "     29,16-24,99=4,16
4,16*1   =    4,16          "       "       "      "  quatrieme année

donc  f(1)= 0,166 = P(X=1)
           f(2)=54,16
           f(3)=24,16
           f(4)=4,16
L'espérance mathématique est E(X)= Somme xi P(X=xi)   .      E = 2,16
La variance     V = 0,555           l'écart type Sigma = 0,745


alors je prend l'espérance de vie 2,16 ans ?
la moyenne d'âge des machies est 0,55 ou 0,74  ??

merci

bonsoir,je suis d'accord pour E(X) mais tu devrais laisser les différentes probabilités sous forme de fractions
     i|......1......2......3......4
P(X=i)|    4/24   13/24   6/24   1/24

je ne suis pas s^re de bien comprendre :
soit x le nombre de machines neuves,y le nombre de machines d'un an,z le nombre de machines de deux ans et t le nombre de machines de trois ans
le nombre de machines a acheter au bout de l'année courante est x/6+13y/20+6z/7+t

on aurait F(k)=F(k-1)/6+13F(k-2)/20+6F(k-3)/7+F(k-4)
avec F(1)=N/6, F(2)=F(1)/6+(13/20)(5/6)N  .....
je ne sais pas si j'ai bien compris

Bonjour, d'accord je'utilise les fractions.
pour la formule de l'achat en fonction de x ,y, z et t sa me semble logique les deux autre aussi.
la question demande de determiner F en fonction de K , c a dire formule explicite. et dans cette question l'énonce propose une indication, la voila:
" le polynome x^4 - 1/6 x^3 - 13/24 x^2 - 1/4 x - 1/24  admet comme racine : 1 ; -1/3 ; 1/4-i/4 ; -1/4-i/4  "


Veleda merci bien pour ton aide.

d'aprés ton indcation on doit ^tre amené à trouver les suites satisfaisant à une relation de récurrence linéaire d'ordre 4 ,pour en trouver la solution générale on cherche les suites géométriques solutions c'est à dire les solutions de terme général rⁿavec r non nul
et d'aprés ton texte r  est solution de  x⁴-x³/6-13x²/24-x/4-1/24=0
comme il y a 4 solutions distinctes la solution générale de l'équation de recurrence est Ar₁ⁿ+ Br₂ⁿ+Cr₃ⁿ+Dr₄ⁿ
les constantes A,B,C,D sont déterminées par la connaissance des 4 premiers termes
j'ai bien pour F(k) un relation linéaire d'ordre 4 mais les coefficients n'ont pas l'air d'être les bons
j'y refléchirai tout à l'heure

si j'ai saisi la forme de F(K) est une somme de suite géometrique, leur coefficient sont déterminé par les valeurs initiales et leur raisons sont a déterminé a partir de l'indication !!!
Alors le terme complexe 'i' doit disparaitre.

Une faute d'ecriture, les racines du polynome donné dans l'indication sont
1
-1/3
-1/4+i/4
-1/4-i/4

bonsoir,
je n'ai pas eu le temps de réfléchir aux coefficients de l'équation mais pour ce qui est des solutions
si r₃et r₄sont les deux racines conjuguées du polynôme quand on cherche les suites réelles solutions on prend
u_n=(r₃ⁿ +r₄ⁿ)/2
et
v_n=(r₃ⁿ-r₄ⁿ)/2

ici r₃=(2/4)e^3i/4  
donc on aura
u_n=(2/4)ⁿcos(3n/4)
et
v_n=(2/4)ⁿsin(3n/4)

bonsoir,
je n'ai pas compris pourquoi tu as pris deux suites Un et Vn.
j'ai creusé un peu , a partir de la relation de récurrence d'ordre 4 on construit une matrice qui transforme un vecteur colonne de composants (F_i;F_i+1;F_i+2;F_i+3) en (F_i+1;F_i+2;F_i+3;F_i+4), cette matrice est la matrice compagnon , son polynome caractéristique n'est autre que le polynome donné en indication , avec les racines du polynome on peut diagonaliser la matrice ...  tu me comprend ?

bonjour,
oui c'est une autre methode
les suites (u )et (v) remplacent les deux suites géométriques complexes

avec l'autre methode on va avoir
K_i+1= (PDⁱP^-1)K₁   K₁=la colonne (F₁,F₂,F₃,F₄)
la matrice diagonale  va avoir deux éléments diagonaux complexes conjugués et les vecteurs propres correspondant sont complexes
bon courage

> Question#1
L'espérance de vie d'une machine:
P'1=1/6 ; P'2=13/20 ; P'3=6/7 ; P'4=1
Soit P(X) la probabilité de tomber en panne lors de l'année X (sachant que la machine est neuve).
X€ {1, 2, 3,4}     P(1) = P'1 = 1/6
                P(2) = (1-P'1)*P'2=5/6*13/20 = 13/24
                P(3) = (1-P'1)*(1-P'2)*P'3=1/4 = 6/24
                P(4) = (1-P'1)*(1-P'2)*(1-P'3)*P'4=5/120 = 1/24

P(X):la probabilité que la machine tombe en panne durant l'année X

L'espérance mathématique : E(X):=Sum[Xi P(Xi)]=2,16 ans
-> L'espérance de vie d'une machine est 2,16ans soit 2ans et 2mois





> Question#2
L'âge moyen des machines ici est 2 ans et 2 mois, égal à l'espérance de vie.        



> Question#3
Soit a le nombre de machine neuve,
     b celle d'un an d'âge,
     c celle de deux ans d'âge,
  et d celle de trois ans d'âge.
On remplace des machines neuves (P(1)*a), pour les machines de deux ans d'âge (P(2)*b) doivent être remplacé,(P(3)*c) pour celle a trois ans d'âge et (P(4)*d) pour les plus anciennes.
Donc le nombre de machine à acheter au bout de l'année courante est:
     N°= 1/6*a + 13/24*b + 6/24*c + 1/24*d


> Question#4
Si on désigne N°(k) le nombre de machine neuve à acheter à l'année k
N°(k)= 1/6*N° (k-1) + 13/24*N° (k-2) + 6/24*N° (k-3) + 1/24*N° (k-4)   avec k>4.
et N°(0)=N
   N°(1)= 1/6*N°(0)
   N°(2)= 1/6*N°(1) + 13/24*N°(0)
   N°(3)= 1/6*N°(2) + 13/24*N°(1) + 6/24*N°(0)  
   N°(4)= 1/6*N°(3) + 13/24*N°(2) + 6/24*N°(1) + 1/24*N°(0)

Si on pose                                          
    et
                
Alors A X(k) = X (k+1)
  soit


> Donc A X1 = X2  =>   A^k X1 = X (k+1)

Pour utiliser cette dernière formule on doit diagonaliser la matrice A (on utilise la décomposition de Jordan). J la matrice diagonale et P la matrice de passage.


>  with(linalg): J:=jordan(A,'P');

> print(P);
> print(inverse(P));

> evalm(P&*J&*inverse(P));
.


> A^k 1 = P d^k P^(-1) X1 = X(1+k)
En calculant (P d^k P^(-1) X1) et en la réorganisant suivant les valeurs propres de A on aura:

N°(k+4)=   [2/5*N°(4)-N°(3)/5-3/20*N°(2)-N°(1)/20] * (-1/3)^k +
           (-1/4+I/4)^k*[(9/130+33/130I)*N°(4)-(6/65+23/260I)*N°(3)+(1/130-9/65I)*N°(2)+(1/65-7/260I)*N°(1)] +

(-1/4-I/4)^k*[(9/130-33/130I)*N°(4)-(6/65-23/260I)*N°(3)+(1/130+9/65I)*N°(2)+(1/65+7/260I)*N°(1)] +

N°(1)/52+ 7/52*N°(2)+5/13*N°(3)+6/13*N°(4) ;


#Ainsi pour un parc comportant N machines:
  N°(0)=N ;  N°(1):=N/6  ;  N°(2)=17/24*N  ;  N°(3)=11/24*N  ;  N°(4)=313/576*N

#=> ####
N°(k+4)=N/90*(-1/3)^k + (-1/4+I/4)^k*N*[83/24960-I*43/8320] +  (-1/4-I/4)^k * N*[83/24960+I*43/8320]                             + N*41/78

    (-1/4+I/4)^k + (-1/4-I/4)^k = 2*sqrt (2)^k*cos(3Pi*k/4)
et (-1/4+I/4)^k - (-1/4-I/4)^k = 2*I*sqrt(2)^k*sin(3Pi*k/4)
Après réarrangement et simplification de N° (k+4) on détermine N°(k).
>   Enfin :    N°(0)=N ;  N°(1):=N/6 ;  N°(2)=17/24*N ;                                                                                                                                            _              N°(3)=11/24*N ;  N°(4)=313/576*N                        

et si k>4  N°(k)= N [ 41/78 + 1/90*(-1/3)^(k-4) - (sqrt(2)/2)^(k-4)*     (83/2496*cos(3Pi*k/4)+43/8320*sin(3Pi*k/4)) ]


>Question#5
En régime permanent le nombre de machine à acheter chaque année est determinée en faisant tendre k vers l'infini dans N°(k). D'après la formule précédente  en puissance (k-4) tendent vers zéro puisque inférieur à 1 strictement, et les fonctions cos et sin sont bornée.  Donc en régime permanent on doit acheter chaque année (41/78*N) machines pour garder le même nombre de machine dans le parc.


FIN