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Probabilité calculatoire

Posté par
H_aldnoer 26-06-08 à 11:38

Bonjour,



je solicite votre aide pour un exercice disons très calculatoire ! Je voulais juste vérifier si ce que je trouve est correct.


\Large{(X,Y)} un couple de variable aléatoire de densité de probabilité \Large{f_{(X,Y)}(x,y)=a|x|y^2\mathbb{1}_{\{(x,y)\in\mathcal{D} \}} où \Large{a>0} et \Large{\mathcal{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\,,0\le y\le 1\,et\,|x|\le 1-y\}.


1) Trouver \Large{a} pour que \Large{(X,Y)} suive bien une loi de probabilité.
2) Les variables aléatoires \Large{X,Y} sont-elles indépendantes ?
3) Donner les lois marginales, espérances et variances de \Large{X,Y}
4) Calculer le covariance de \Large{X,Y}


Mes réponses dans le prochain post.

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 11:43

1) Il faut que \Large{\Bigint_{\mathbb{R}^2}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy=1.

Or \Large{\Bigint_{\mathbb{R}^2}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy=a\Bigint_{\mathcal{D}}|x|y^2dxdy.

Et \Large{\Bigint_{\mathcal{D}}|x|y^2dxdy=2\Bigint_{0}^1x(\Bigint_{0}^{1-x}y^2dy)dx=\frac{-2}{3}\Bigint_{0}^1x(x-1)^3dx=\frac{-2}{3}\frac{-1}{20}=\frac{1}{30}.


Soit \Large{a=30}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 11:49

Salut H!

Sans garantie(je n'ai pas revérifié mes calcus), je trouve a = 30 dans la première question.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 11:50

Ah ben c'est sans doute bon alors, je n'avais pas rafraîchi la page avant de poster!

Tu as demandé à Maple de calculer ta dernière intégrale ou tu n'as simplement pas recopié ton brouillon?

(Ne me dis pas que tu arrives à faire ça de tête quand même, je prendrais peur! )

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 11:53

2) Pas trop d'idée sur cette question!


3) En intégrant j'ai ceci :

\Large{f_X(x)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_{(X,Y)}(x,y)dy=\frac{a}{3}|x|

et

\Large{f_Y(y)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_{(X,Y)}(x,y)dx=ay^2(y^2+1)



Je trouve que \Large{\mathbb{E}[X]=\frac{a}{6} et \Large{\mathbb{V}(X)=\frac{36a-a^2}{36}.

Il y a une indication mais je ne vois pas en quoi sert-elle :


\Large{\Bigint_{0}^1x^p(1-x)^qdx=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}


Je fais fausse route ?

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 11:55

Citation :
Ne me dis pas que tu arrives à faire ça de tête quand même, je prendrais peur!


Si bien sûr, bibi il fait tout ça de tête
J'ai pas Maple malheureusement !

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:09

J'ai \Large{\mathbb{E}[Y]=\frac{5a}{12} et \Large{\mathbb{V}(Y)=\frac{12a}{35}-(\frac{25a^2}{144})^2

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:10

Rassurer moi, l'indication que :

\Large{\Bigint_{0}^1x^p(1-x)^qdx=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}



C'est bien pour le calcul de la covariance ?
Je suis perdu la!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:18

Pour la question 2, calcule les densités marginales (et cela n'anticipe pas sur la question 3 où ce sont les lois marginales qui sont demandées)par intégration par rapport à l'une des variables, puis compare leur produit à la densité du couple.Je n'ai pas vérifié tes calculs.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:38

Je ne trouve pas du tout comme toi pour les densités marginales, j'ai, par symétrie de D et parité en x de la densité jointe:


4$\forall x\in [0;1],\;f_X(x)=ax\Bigint_0^{1-x}y^2dy=\fr{ax}3(1-x)^3)\\\forall x\in[-1;0],\;f_X(x)=f_X(-x)=-\fr{ax}3[(1+x)^3] \\ \\ \\ \forall y\in[0;1],\;f_Y(y)=2ay^2\Bigint_0^{1-y}xdx=ay^2(1-y)^2

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:50

Ok!


Donc il n'y pas indépendances car \Large{f_Xf_Y \neq f_{(X,Y)}, c'est bien cela ?


Ensuite pour la 3), les lois marginales, il s'agit de donner les fonctions de répartitions ? Donc on intègre les densités marginales ?

Que trouves-tu pour les espérances et variances ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 12:59

Citation :
Donc il n'y pas indépendances car...


->Oui!

Citation :
Ensuite pour la 3), les lois marginales, il s'agit de donner les fonctions de répartitions ?


->Je pense que c'est ce qu'on attend.

Citation :
Donc on intègre les densités marginales ?


-> Oui, sur [-1;t] pour P(X
Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:10

Pour les espérances, j'ai, en remplaçant a par 30 et en changeant x en -x dans la seconde intégrale:


4$E[X]=\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx-\Bigint_{-1}^010x^2(1+x)^3dx=\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx-\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx=0



et de même, en utilisant l'indication avec p=3 et q=2:



4$E[Y]=\Bigint_0^130y^3(1-y)^2dy=\fr{30.3!.2!}{6!}=\fr 12

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:12

Désolé, je me suis trompé de balises pour l'espérance de X, je reprends:


4$E[X]=\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx-\Bigint_{-1}^010x^2(1+x)^3dx=\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx-\Bigint_0^110x^2(1-x)^3dx=0

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:21

j'ai V[Y]=\frac{1}{28}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:23

On calcule ensuite les moments d'ordre 2:


Pour X, le calcul est analogue, sauf que par imparité, la deuxième intégrale est l'opposée de la première, d'où:

4$E[X^2]=20\Bigint_0^1x^3(1-x)^3dx=\fr{20.3!3!}{7!}=\fr 17\;et\;V[X]=E[X^2]-E[X]^2=\fr 17 .


4$E[Y^2]=30\Bigint_0^1y^4(1-y)^2dy=\fr{30.4!2!}{7!}=\fr 27\;et\;V[Y]=E[Y^2]-E[Y]^2=\fr 27-\fr 14=\fr 1{28}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:24

Salut robby!

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:24

Cooolll

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:25

Salut Maitre Tig!!
c'est le jour J!!! je suis sur le pc de la fac, min-38

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:26

Quel jour J? Tu as un examen aujourd'hui??

Par contre, je ne vois pas comment calculer E(XY), ça a l'air assez horrible...

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:27

Ok, je trouve finalement pareil.

Pour la variance ?

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:28

Bah c'est aujourd'hui qu'on passe la proba avec H_aldnoer

E(XY)...faut faire avec la densité du couple il me semble!

Bon je te laisse, je vais  aller stresser devant l'amphi
A toute!
Bonne aprés-midi!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:29

Bon courage dans ce cas robby!

Et H tu passes aussi à 14h?? On n'a plus beaucoup de temps dans ce cas!

Je réfléchis pour E(XY).

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 13:37

Peut-être par intégration d'une espérance conditionnelle, mais vraiment je ne connais pas ce domaine.
Et mon intuition a des limites quand même lol!

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 17:37

C'est bon, fini la proba!


L'exam était plus ou moins délicat!
L'exercice 1, calcul de fonction de répartition, espérance et variance de la loi de Rayleigh.
L'exercice 2, génération de différentes variables aléatoires à partir de la loi uniforme sur [0,1].
L'exercice 3, j'ai pas touché! Avec des dates d'anniversaires bizarres!
Enfin, l'exercice 4, loi de Paréto mis sur l'ile donc Ok!!!

Verdict dans deux semaines, merci à tous ceux qui m'ont aidé ces derniers jours : veleda, stokastik, le grand Tig et robby!

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 21:13

moi je remercierais quand j'aurais vu la note

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 22:00

J'ai oublié PIL qui m'a bien aidé!


Citation :
moi je remercierais quand j'aurais vu la note


Moi je suis déjà bien content, note ou pas note! J'ai appris pas mal de chose, notamment que l'on pouvait toujours compter sur certaines personnes présente sur ce super forum...

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 22:50

certes j'ai appris des choses mais pour moi,le but  c'était d'etre prés le jour J,je l'étais grace à l'ile et les personnes qui nous ont aidés...maintenant,reste à savoir si ça suffira pour me permettre d'avoir ma licence et ainsi obtenir le droit de passer le fameux capes...en attendant, il me reste les espaces de hilberts et l'analyse de fourier à réviser!
Donc si jamais j'ai des résultats suffisant, vous aurez de mes nouvelles
sinon...bah ...

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:19

Oui je comprend tout à fait mon cher robby!
Quoiqu'il en soit, moi je dis, vivement l'ile de Ré!!

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:19

En tout cas bon courage dans tes dernières révisions ...

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:21

Au fait, faire des exercices sur l'ile avec Tig c'est tout de même excellent !
Ca rigole etc ...

J'oublierai pas!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:25

Citation :
merci à tous ceux qui m'ont aidé ces derniers jours


->Mais avec plaisir en ce qui me concerne!

J'espère que vous aurez une bonne note!D'ailleurs, si j'avais su que vous passiez un examen (je ne l'ai appris qu'une demi-heure avant, et encore je n'étais même pas sûr qu'il vous concerne tous les deux!) je n'aurais pas tant rechigné devant vos exos et j'aurais essayé d'être plus efficace!

Quoi qu'il en soit, c'est fini la proba à présent!
Mais j'avoue que, pour le plaisiiiir (petit hommage à Herbert Léonard lol), j'aimerais savoir comment calculer E(XY).

Eh oui, on y prend goût!
Si quelqu'un a des idées!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:25

Citation :
Au fait, faire des exercices sur l'ile avec Tig c'est tout de même excellent !
Ca rigole etc ...

J'oublierai pas!


->Merci!

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:27

Citation :
je n'aurais pas tant rechigné devant vos exos et j'aurais essayé d'être plus efficace!


Quelqu'un a parlé d'un Tig rechignard et inefficace ?
Moi perso, je l'ai pas connu ...


Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:28

Citation :
Quoi qu'il en soit, c'est fini la proba à présent!


Ou alors ça commence!
Je me dirige vers un master Ingénierie économique, la proba et la statisque en font partie intégrante.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:34

Citation :
Quelqu'un a parlé d'un Tig rechignard et inefficace ?
Moi perso, je l'ai pas connu ...


->J'ai beaucoup hésité devant la tête de ton premier exo sur les lois jointes tout de même lol!

Alors cette espérance de XY, une idée?

Posté par
H_aldnoerre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:37

Citation :
J'ai beaucoup hésité devant la tête de ton premier exo sur les lois jointes tout de même lol!





Franchement, ça me tente pas de me lancer dans des calculs!
Je viens de jeter tout le brouillon accumulé ces derniers jours, ça fait un beau tas!

Un jour peut-être

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 26-06-08 à 23:45

Ah ben c'est du propre!Et môssieur brigue un master Ingénierie économique!
Je plaisante, repose-toi, tu l'as bien mérité!

Posté par
PILre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 01:22

Bonsoir à tous !

Robby et H_aldnoer, j'espère que tout s'est bien passé ! J'ai eu du plaisir à faire ces proba avec vous. Au fond, j'aime ça; dommage que ce soit fini !

Pour Tigweg, et pour le plaisir, le calcul de E(XY) :

3$\rm E(XY) = \int\int_D xy f_{(X,Y)} (x,y) dx dy = \int\int_D xya|x|y^2 dxdy = a \int_0^1 y^3 (\int_{-1+y}^{1-y} x|x| dx ) dy = 0

A la prochaine !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 01:29

Bonsoir PIL!

Citation :
J'ai eu du plaisir à faire ces proba avec vous. Au fond, j'aime ça; dommage que ce soit fini !


->Exactement, je ressens la même chose!

Sinon je ne connaissais pas cette formule, mais merci!!

C'est assez intuitif finalement:

XY prend pour valeurs les xy, avec une probabilité ponctuelle de f_(X,Y)(x,y).

Comment justifier proprement ce calcul?Le théorème de transfert s'applique-t-il directement ici?

J'ai toujours un peu de mal avec les lois jointes!

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 11:04

Citation :
J'ai eu du plaisir à faire ces proba avec vous. Au fond, j'aime ça; dommage que ce soit fini !

>ah moi aussi j'ai eu du plaisir à faire des probas, plus on en fait, meilleur on est et plus c'est interressant...

Citation :
Quoiqu'il en soit, moi je dis, vivement l'ile de Ré!!

>Ah ça mon cher ami!! Tu l'a dit!!!
ce sera aux antipodes de l'ile des maths

Citation :
En tout cas bon courage dans tes dernières révisions .

>

>Tigweg:
ça donne rien \large \Bigint_{D^2} 30.x.|x|.y^3 dx.dy
en distinguant x positif,,x négatif...

Posté par
stokastikre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 11:27

Citation :
C'est assez intuitif finalement:

XY prend pour valeurs les xy, avec une probabilité ponctuelle de f_(X,Y)(x,y).


j'aime pas trop ça... après on en voit qui pleurent sur des forums parce qu'ils ont des densités qui prennent des valeurs plus grandes que 1 et ils se disent que c'est pas possible car c'est une proba...

Citation :
Comment justifier proprement ce calcul?Le théorème de transfert s'applique-t-il directement ici?


Pour moi c'est par définition de la loi du couple (X,Y) qui admet f(x,y) comme densité: pour toute fonction h, E[h(X,Y)] = intégrale....

Avec ici h(x,y)=x*y.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 11:47

Citation :
j'aime pas trop ça... après on en voit qui pleurent sur des forums parce qu'ils ont des densités qui prennent des valeurs plus grandes que 1 et ils se disent que c'est pas possible car c'est une proba..


->Euh, Stok je parlais d'intuition...J'ai d'ailleurs hésité à mettre des guillemets autour de l'expression "probabilité ponctuelle" car je sais bien que ça n'a pas vraiment de sens...Mais bon on est tous majeurs, vaccinés et consentants, hein?


Citation :
Pour moi c'est par définition de la loi du couple (X,Y) qui admet f(x,y) comme densité: pour toute fonction h, E[h(X,Y)] = intégrale....

Avec ici h(x,y)=x*y.


->Merci, je ne connaissais que le théorème du transfert pour des va X de Oméga dans R; ça marche très bien en effet.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 11:50

robby>

Citation :

ça donne rien...
en distinguant x positif,,x négatif..



C'est une question ou une affirmation?

Le calcul de PIL d'hier me semble très bien marcher au contraire!

Posté par
robby3re : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 11:52

ah non c'était une question,j'ai pas fait les calculs

effectivement j'avais pas vu...ça fonctionne trés bien!

Posté par
PILre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 12:24

Bonjour à tous,

Dites, ça chauffe encore les probas !
Pour en revenir à E(XY) :  si je note Z = h(X,Y) la va de Stokastik, on aura en se plaçant sur ,

3$\rm E(Z) = \int_{\Omega} Z(\omega) dP(\omega) = \int\int_{D} h(x,y) f(x,y) dx dy

et la dernière égalité est exactement (me semble-t-il) le théorème de transfert. Il est clair qu'on a intérêt à utiliser la dernière expression puisqu'elle dispense de calculer la loi de Z.
Bonne journée !

Posté par
stokastikre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 12:33

Citation :
->Euh, Stok je parlais d'intuition...J'ai d'ailleurs hésité à mettre des guillemets autour de l'expression "probabilité ponctuelle" car je sais bien que ça n'a pas vraiment de sens...Mais bon on est tous majeurs, vaccinés et consentants, hein?


Oui c'est vrai et f(x) est le bon analogue de P(X=x) dans le cas continu. Ce que tu disais est une très bonne remarque. Je voulais juste souligner que c'est pas une proba. C'est vrai que mon intervention n'était pas très réfléchie.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilité calculatoire 27-06-08 à 14:01

Citation :
Oui c'est vrai et f(x) est le bon analogue de P(X=x) dans le cas continu. Ce que tu disais est une très bonne remarque. Je voulais juste souligner que c'est pas une proba. C'est vrai que mon intervention n'était pas très réfléchie.


->Merci, et pas de souci.

PIL > C'est bien ce que j'avais compris de la remarque de stokastik, merci à toi d'avoir confirmé!


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