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Probabilité conditionnelle processus de Poisson

Posté par
Serbiwni 22-05-23 à 14:24

Bonjour, j'ai beaucoup de mal à comprendre l'énoncé suivant et comment parvenir aux égalités mentionnées.

Soit M un espace mesurable de mesure \mu. Supposons que M est fini ou dénombrable, N un processus ponctuel de Poisson d'intensité \mu, et A un ensemble mesurable  \mu(A) est fini, alors conditionellement sur N on peut uniformément choisir l'ordre des N(A) éléments du processus dans A parmi les N(A)! choix possibles. On obtient alors une famille aléatoire ordonnée et finie  U_1, \dots , U_{N(A)} et on a alors que
  \mathbb P(U_1 = u_1, \dots , U_n = u_n\lvert  N(A) = n)= \frac{\mu(u_1)\dots\mu(u_n)}{\mu(A)^n}
et
   \mathbb P(U_1 = u_1, \dots , U_n = u_n, N(A) = n)= \frac{\mu(u_1)\dots\mu(u_n)}{n!}e^{-\mu(A)}

Je comprends comment obtenir la deuxième égalité à l'aide de la première, cela découle de la formule de la probabilité conditionnelle et du fait que \mathbb P(N(A) = n)=e^{-\mu(A)} \frac{\mu(A)^n}{n!}, mais je ne vois pas comment obtenir la première égalité. Pouvez-vous m'aider ?


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