Niveau autre

Probabilité et événements contraires

Posté par Eos (invité) 23-08-06 à 12:43

Bonjour tout le monde,

Voilà, j'ai un petit soucis avec mon exo de proba. J'arrive pas à établir une égalité puis une inégalité

Voilà le sujet:

"On sait que pour tout x réel, on a : $1-x \le e^x$ (1)

On considère dans cette question une suite $(A_i)_{i\ge1}$ d'événements indépendants. on suppose que la série de terme général $P(A_i)$ diverge. Soit k fixé dans $\mathbb{N}$ *. pour $n \ge k$ on note $C_n = \Bigcup_{i=k}^n A_i$
J'ai prouvé que $\lim_{n\to +\infty} \Bigsum_{i=k}^n P(A_i)=+\infty$

Montrer que $P(C_n)=1-\Bigprod_{i=k}^n$ P(/A_i) (en comprenant /A_i comme l'événement contraire de A_i, donc A_i "barre")

Or, je ne sais pas si le contraire d'un événement indépendant est indépendant. Apparement oui (si c'est le cas, l'égalité se trouve tout de suite), mais n'en étant pas sûr de tout, je préfère avoir votre avis.

En utilisant le (1), montrer que P(C_n) $\ge$ 1 - exp(- $\Bigsum_{i=k}^n P(A_i)$ )

Voilà.

Merci d'avance.

Bonne journée.

Eos

Posté par re : Probabilité et événements contraires 23-08-06 à 12:46

Bonjour Eos

Citation :
Or, je ne sais pas si le contraire d'un événement indépendant est indépendant.

Désolé, je ne comprends pas.

Kaiser

Posté par Eos (invité)re : Probabilité et événements contraires 23-08-06 à 12:54

Bonjour Kaiser,

Oui, je m'aperçois que c'est moins clair que je le pensais!

On sait que $(A_i)_{i\ge1}$ sont des événements indépendants.

D'où P(A₁ $\cap$ A₂)=P(A₁)xP(A₂)

Mais ce que je ne sais pas c'est si P(/A₁ $\cap$ /A₂)=P(/A₁)xP(/A₂) puisque rien n'est dit sur l'indépendance des contraires de $(A_i)_{i\ge1}$

Posté par re : Probabilité et événements contraires 23-08-06 à 13:09

Pour le cas de 2 événements, je crois que ceci est vérifié.
En effet, il suffit de remarquer que $\Large{\bar{A_{1}}\bigcap \bar{A_{2}}=\bar{A_{1}\bigcup A_{2}}}$ et donc $\Large{\mathbb{P}(\bar{A_{1}}\bigcap \bar{A_{2}})=1-\mathbb{P}(A_{1}\bigcup A_{2})=1-(\mathbb{P}(A_{1})+\mathbb{P}(A_{2})-\mathbb{P}(A_{1}\bigcap A_{2}))}$ et on vérifie que ça vaut $\Large{\mathbb{P}(\bar{A_{1}})\mathbb{P}(\bar{A_{2}})}$ .

Pour n événements, je pense que ça marche de la même manière (modulo une récurrence).

Kaiser

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

probabilités en post-bac
1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Probabilité et événements contraires

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths