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Probabilité et mélange gaussien

Posté par
Thomasdxb 24-06-22 à 15:49

Bonjour cher forum !

Je considère une variable aléatoire réelle (v.a.r.) X pouvant se décomposer sous la forme X=YZ, où Y est une v.a.r. à valeurs positives, et Z une v.a.r. de loi N(0,1) indépendante de Y.

Dans la première partie de l'exercice, on supposait que Y possèdait une densité g, et on démontrait que f_X(x)=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp\big(-\frac{-x^2}{2y^2}\big)\frac{g(y)}{y}dy.

On suppose désormais qu'il existe a\in \mathbb{R} tel que Y=a presque sûrement.
On demande alors de déterminer la loi de X.

Tout d'abord, est-ce que la fonction de répartition de Y, dans ce cas, vérifie bien : F_Y(t)=P(Y=a)=1 ?

Merci !

Posté par
GBZMre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 17:01

Bonjour,

Ben non, reviens à la définition  : F_Y(t)= {\mathbb P}(Y\leq t).

Posté par
Thomasdxbre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 17:23

Bonjour GBZM,

N'importe quoi, en effet.
On  a F_Y(t)=P(Y\le t)=P(\{\omega\in \Omega, Y(\omega)\le t\})=P(a\le t) et donc F_Y(t)=1 si t\ge a et F_Y(t)=0 si t<a .

Qu'en penses-tu ? Merci pour ton aide !

Posté par
Thomasdxbre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 17:39

A partir de là, et en dérivant, je trouve que la fonction de répartition de Y est nulle sur tout \mathbb{R}.

Posté par
Thomasdxbre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 17:57

Bon, en fait, X=aZ et donc X suit la loi N(0,a^2)...

Posté par
GBZMre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 17:57

Hum, sans vouloir te vexer, c'est encore n'importe quoi. Déjà tu te mélanges entre fonction de répartition et fonction de densité. Et ensuite, tu penses vraiment que la fonction de répartition que tu as trouvée est dérivable ?

Tu n'as pas besoin de tout ça pour déterminer la loi de X : Y est (presque sûrement) une constante !

Posté par
Thomasdxbre : Probabilité et mélange gaussien 24-06-22 à 18:23

Non GBZM, j'ai écrit sans réfléchir, mais j'ai trouvé (17h57)...

La prochaine fois j'écrirai mes horreurs sur un brouillon à part ^^

Posté par
Thomasdxbre : Probabilité et mélange gaussien 25-06-22 à 10:03

Bonjour GBZM,

Lorsque Y=a presque sûrement, on a alors X=aZ .
Je suis allé trop vite.

De X=aZ et Z\simN(0,1), on obtient que E(X)=E(aZ)=aE(Z)=0 et Var(X)=Var(aZ)=a^2Var(Z)=a^2.

Ainsi, X\sim N(0,a^2) et donc f_X(x)=\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2a^2}}.
Donc f est une densité de probabilité si et seulement si a\neq 0.

Est-ce bien correct ?

On demande de vérifier ensuite que, pour a\neq 0, \forall \theta\in [0,1], \forall x,x'>0,
f(\sqrt{\theta x+(1-\theta)x'})=f(\sqrt{x})^{\theta}f(\sqrt{x'})^{1-\theta}.

Bon, on a d'une part f(\sqrt{\theta x+(1-\theta)x'})=\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-\theta x-(1-\theta)x'}{2a^2}}=\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-\theta x}{2a^2}}e^{\frac{-(1-\theta)x'}{2a^2}}, et d'autre part :

f(\sqrt{x})^{\theta}f(\sqrt{x'})^{1-\theta}=\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-\theta x}{2a^2}}\frac{1}{|a|\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(1-\theta)x'}{2a^2}}=\frac{1}{a^2 2\pi}f(\sqrt{x})^{\theta}f(\sqrt{x'})^{1-\theta}.

Y'a comme un os hélas...


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