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Probabilité famille disjointe

Posté par
vicinet 17-02-23 à 17:07

Bonjour à tous,

J'avance sur un devoir maison, mais j'ai quelques difficultés de rédaction ( et peut-être par la même occasion de compréhension des notions ), voici la question et ma réponse :

1° Soit un espacé probabilité et (A_n) une famille croissante d'évènements ( pour tout n entier naturel non nul ).
Soit (B_k)k≥1, la famille d'évènement définie par : B_1=A_1 et B_k=A_k\A_{k-1} sinon.

Montrer que la famille (B_k) ( pour k entier non nul ) est disjointe et donner pour tout entier non nul n, l'union B_k de k=1 à n.


Réponse : Comme (A_n) est une famille croissante d'évènements, on a, pour tout entier non nul n, A_n inclus dans A_{n+1}.

Ainsi, B_2 = A_2 \ A_1 ;
B_3=A_3 \ A_2 = A_3 \ {A_2 et A_3}  ( et = inter )
B_4 = A_4 \ A_3 = A_4 \ {A_3 et A_2 et A_1}

Par une récurrence immédiate, on a pour tout k≥1, B_k=A_k\{intersection A_1 de i=1 à k-1}

Est-ce suffisant comme rédaction pour dire que la famille (B_k) est disjointe ? ( j'ai l'impression que ma rédaction est trop légère et approximative en fait ).


Sinon, j'avais pensé à dire :

Montrons que pour tout i, j entiers naturels non nuls, on a B_i différent de B_j.

On suppose, sans perte de généralité, que i < j.
Comme i et j sont deux entiers naturels, on remarque que : i ≤ j-1.

Or, B_j = A_j \ A_{j-1} et donc B_i inclus dans A_{j-1}. D'où B_i différent de B_j.


Je vous remercie sincèrement pour votre éclaircissement.

Posté par
Rintarore : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:07

Bonsoir,

ce que tu écris est faux à partir de B4, donc la généralisation à tout k est fausse également. Ce que tu écris :

B_k = A_k \backslash \bigcap_{i=1}^{k-1} A_i = A_k \backslash A_1

puisque les Ak sont croissants pour l'inclusion, ce qui n'est pas vrai en général. Je te conseille de faire un dessin avec des patates imbriquées les unes dans les autres (par exemple 5, ce qui correspondra à A1, A2, ... , A5) et de dessiner B1, B2, etc. Pour le coup, on voit bien que les ensembles sont disjoints et ça peut donner l'inspiration pour une preuve.

Posté par
Rintarore : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:10

Je n'avais pas lu la seconde partie du message, excuse-moi.

"Montrons que pour tout i, j entiers naturels non nuls, on a B_i différent de B_j. "

Ce raisonnement ne montre pas que les ensembles sont disjoints, tu dois prouver que les intersections sont vides pour deux indices i et j différents. J'ai bien {0,1} et {1,2} deux ensembles différents (non égaux), pourtant leur intersection n'est pas vide (égale à {1}) et ne sont pas en conséquence disjoints.

Posté par
Rintarore : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:12

Je repasse vers 19h normalement, si quelqu'un veut prendre le relais, ce serait parfait.

A tout à l'heure éventuellement .

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:14

Aussi, je ne sais pas si c'est un oubli dans la retranscription de l'énoncé, mais si le mot évènement apparait il faut aussi que tu montres que les B_n sont mesurables par rapport à la tribu dans laquelle tu travailles. C'est assez simple en utilisant le fait que U\setminus V = U\cap V^c

Posté par
carpediemre : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:39

salut

je ne pense pas que la mesurabilité intervienne pour l'instant ; on ne travaille que sur des opérations ensemblistes

on peut remarquer que :

si B_n = A_n / A_{n - 1} alors B_n \subset A_n $ et $ B_n \not \subset A_{n - 1}

Posté par
carpediemre : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 18:41

et surtout si (A_n) est une suite croissante d'ensembles que vaut \cup_1^n A_k  ?

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 19:34

Je comprends mon raisonnement qui semblait bancal, mais en faite il est faux je vois.

Si c'est une suite croissante d'ensembles, l'union des A_k de 1 à n vaut A_n

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 20:10

Rintaro @ 17-02-2023 à 18:10

Je n'avais pas lu la seconde partie du message, excuse-moi.

"Montrons que pour tout i, j entiers naturels non nuls, on a B_i différent de B_j. "

Ce raisonnement ne montre pas que les ensembles sont disjoints, tu dois prouver que les intersections sont vides pour deux indices i et j différents. J'ai bien {0,1} et {1,2} deux ensembles différents (non égaux), pourtant leur intersection n'est pas vide (égale à {1}) et ne sont pas en conséquence disjoints.


Effectivement, j'avais mal recopié, mais il faut que i soit différent de j ! Merci de la précision quand même !

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 17-02-23 à 20:25

Ce n'est pas que i\neq j qui est le plus important, mais le fait qu'on te demande de montrer que B_i\cap B_j = \emptyset, ce qui est beaucoup plus fort que B_i\neq B_j.

Pour montrer cela, aide-toi de l'écriture que je t'ai donnée de U\setminus V

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 18-02-23 à 10:26

D'accord, je comprends mieux ! Je vais essayer de rédiger ça et je reviens après ! Merci

Posté par
Rintarore : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 10:54

Rebonjour, as-tu avancé vicinet ?

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 15:06

Voici la rédaction de cette question :

Montrons que, pour tout i,j entiers naturels non nuls, avec i ≠ j, on a B_i (inter) B_j = l'ensemble vide.

Par définition, B_i = A_i \ A_{i-1} et B_j = A_j \ A_{j-1} avec i,j entiers naturels non nuls.

De plus, A_j \ A_{j-1} = A_j (inter) (A_{j-1})c et A_i \ A_{i-1} = A_i (inter) (A_{i-1})c

Comme (A_n) est une famille croissante d'évènements, on a :

L'union de k = 1 à n des A_k vaut A_n.

De ce fait, (A_{j-1})c = (L'union de k=1 à j-1 des A_k)c = L'intersection de k=1 à j-1 des (A_k)c

Alors B_i = A_i (inter) (L'intersection de k=1 à i-1 des (A_k)c)

Et B_j = A_j (inter) (L'intersection de k=1 à j-1 des (A_k)c)

Si on suppose que i < j, alors A_i (inclus) A_j ( par croissance de (A_n) )

Donc B_i (non inclus) B_j par construction et donc B_i et B_j sont disjoints.

Réciproquement, si i > j, alors A_j (inclus) A_i ( par croissance de (A_n) )

Donc B_j (non inclus) B_i par construction et donc B_i et B_j sont disjoints.


Finalement, pour tout i,j entiers naturels non nuls tels que i différent de j, on a B_i (inter) B_j = l'ensemble vide.



( désolé pour l'écriture, je ne maîtrise pas bien le LaTeX )

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 15:21

Y'a des imprécisions (que se passe-t-il si i = 1 ?) et cette phrase

Citation :
Donc B_i (non inclus) B_j par construction et donc B_i et B_j sont disjoints

est fausse. Ce n'est pas la non inclusion de l'un dans l'autre qu'on veut montrer mais la vacuité de l'intersection des deux! C'est la même erreur que précédemment.

Le passage avec j < i est inutile, il suffit de permuter les rôles de i et j.

Tout ce qu'on te demande d'écrire c'est
* pour 1 < i \leqslant j-1, B_i\cap B_j = A_i\cap A_{i-1}^c \cap A_j\cap A_{j-1}^c = A_i\cap A_{j-1}^c
* pour j > 1, B_1\cap B_j = A_1\cap A_j\cap A_{j-1}^c = A_1\cap A_{j-1}^c

(la seconde ligne peut être incluse dans la première si on pose A_0 = \emptyset)

Ensuite, à toi de m'expliquer pourquoi A_i et A_{j-1}^c ne peuvent jamais avoir d'élément commun quand i < j.

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 15:31

C'est beaucoup plus rigoureux de faire les intersections directement, effectivement !

A_i et A_{j-1}^c n'ont pas d'élément commun quand i<j
car, par croissance de (A_n)_n, on a : A_i \subseteq A_{j-1}.

Est-ce exact ?

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 15:46

Oui, et donc un élément qui serait à la fois dans A_i et dans A_{j-1}^c serait à la fois dans A_{j-1} et dans son complémentaire. Absurde !

Reste à expliquer, similairement, pourquoi A_i\cap A_{i-1}^c \cap A_j\cap A_{j-1}^c = A_i\cap A_{j-1}^c et à donner (rigoureusement) la valeur de \bigcup_{i=1}^n B_i

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 16:07

Très bien, merci !

Il me reste un dernier argument à trouver que je pense vrai mais que je n'arrive à pas dire rigoureusement :

\cup_{k=1}^n B_n=\cup_{k=1}^nA_k \backslash A_{k-1}=\cup_{k-1}^n(A_k\cap (A_{k-1})^c )=\cup_{k=1}^n A_k=A_n

La dernière égalité vient de la croissance de la famille (A_n)_n, mais l'avant dernière égalité je ne vois pas un argument convaincant pour le moment

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 16:09

vicinet @ 19-02-2023 à 16:07

Très bien, merci !

Il me reste un dernier argument à trouver que je pense vrai mais que je n'arrive à pas dire rigoureusement :

\cup_{k=1}^n B_n=...



C'est B_k

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 16:23

Le mieux est de procéder par récurrence à mon avis.
Initialisation: ...
Hérédité: ...

Posté par
vicinetre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 16:48

Parfait, récurrence réussie !

Je vous remercie sincèrement, Ulmiere, Rintaro et carpediem

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 18:00

Bien, maintenant que tu as fait l'exercice manuellement et la récurrence, tu vois que tu pouvais tout faire d'un coup par récurrence ?

P(n): \bigcup_{i=1}^n B_i = A_n et pour tout 1\leqslant m < n, B_m\cap B_n = \emptyset

Initialisation: Il est exact que B_1 = A_1. La deuxième partie est tautologique (sur l'ensemble vide tout est vrai). Pour éviter cette facétie, on aurait aussi pu autoriser m = 0 et B_0 = A_0 = \emptyset dans la définition de P(n).

Hérédité: On suppose que P(n) est vraie au rang n\geqslant 1.

\bigcup_{i=1}^{n+1} B_i = B_{n+1}\cup\bigcup_{i=1}^n B_i = B_{n+1}\cup A_n = (A_{n+1}\setminus A_n) \sqcup A_n = A_{n+1}

Et pour tout 1\leqslant m\leqslant n, B_m\subseteq A_m\subseteq A_n \implies B_m\cap B_{n+1} \subseteq A_n\cap B_{n+1} = A_n\cap A_{n+1} \cap A_n^c \subseteq A_n\cap A_n^c = \emptyset

Posté par
carpediemre : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 18:01

ouais c'est long ... et difficilement lisible !!


en fait ce n'est pas non inclus que je devais écrire :

B_n = A_n / A_{n - 1} donc B_n \subset A_n $ et $ B_n \cap A_{n - 1} = \O  donc  \forall k < n  :  B_n \cap A_k = \O par croissance de la suite (A_n)

donc si m < n alors par définition B_m \subset A_m et il est immédiat que B_m \cap B_n = \O


quant à la deuxième partie une récurrence convient ... mais on a aussi que :

la suite (A_n) est croissante donc B_n = A_n / A_{n - 1} \iff A_n = B_n \cup A_{n - 1}  et l'union est même disjointe (mais je ne sais pas comment on fait le symbole et on s'en fout !! )

donc : \cup_1^n B_k = \cup_1^n \left( B_k \cup A_{k - 1} \right) = (\cup_1^n B_k ) \cup (\cup_1^{n - 1} A_k) = (\cup_1^{n - 1} B_k) \cup B_n \cup A_{n - 1} = A_n = \cup_1^n A_k

Posté par
Ulmierere : Probabilité famille disjointe 19-02-23 à 19:14

\cup et \sqcup
\bigcup_{i=1}^n X_i et \bigsqcup\limits_{i=1}^n X_i

Par contre l'équivalence n'en est pas une en général. Le sens \implies est toujours vrai, mais par exemple A = {0,1,2} est bien la réunion de B = {0,1} et C = {1,2} mais B n'est pas égal à A \ C = {0}.

La réciproque sera vraie si en plus de A = B\cup C on a B\cap C = \emptyset. C'est-à-dire B = A\setminus C \iff A = B\sqcup C.

C'est une conséquence de la célèbre égalité A\cup B = (A\setminus B) \sqcup (B\setminus A) \sqcup (A\cap B)


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