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Probabilité : Loi centrée réduite

Posté par
matheux14 16-01-23 à 23:02

Bonsoir,

Merci d'avance.

Une entreprise fabrique des brioches en grandes quantité. On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte,  boule de pâte, associe sa masse. On admet que X suit la loi normale de moyenne 700 g et d'écart type 20 g.

1) Seules les boules dont la masse est comprise entre 666g et 732g sont acceptées à la cuisson.

Quelle est la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la
cuisson ?

2) Déterminer le réel positif h afin que l'on ait :

P(700 - h \le X \le 700 + h) \ge 0.95

Enoncer ce résultat à l'aide d'une phrase.

3) On admet que 8% des boules sont refusées à la cuisson.
On prélève au hasard, successivement et avec remise, n boules dans la production. On note Y_n la variable aléatoire qui a tout prélèvement de n boules associe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson.
Cette variable aléatoire Y_n suit une loi binomiale. Dans le cas n = 10.

a) calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la
cuisson ;

b) calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, au moins 7 boules acceptées à la
cuisson.

Réponses

1) Quelle est la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la
cuisson ?

Résoudre cette question revient à calculer

P(X > 666 \text{ ou } X < 732) = P\left(\dfrac{X - 700}{20} > -1,7 \right) + P\left(\dfrac{X - 700}{20} < 1,6 \right)

= 1 - \Pi(-1,7) + 1 - \Pi(1,6) = 1 - 0,9554 + 1 - 0,9452 = 0,0994

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 02:03

Bonjour matheux14,
Il y a une erreur, la boule est acceptée si la masse est comprise entre 666g et 732g c'est à dire que les 2 conditions doivent être réalisées en même temps
Autrement dit, il faut calculer P(X>666 et X<732) = P(666 < X < 732).

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 09:43

X suit une loi normale centrée et réduite \mathcal{N}(m, \sigma^2) (X \rightsquigarrow \mathcal(m, \sigma^2))

P(666 \le X \le 732) = P\left(\dfrac{666 - m}{\sigma^2} \le T \le \dfrac{732 - m}{\sigma^2} \right) = \Pi\left(\dfrac{666 - m}{\sigma^2}\right) - \Pi\left(\dfrac{732 - m}{\sigma^2}\right)

Comment trouver m et \sigma^2 ?

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 09:44

Oups

Citation :
X suit une loi normale centrée et réduite \mathcal{N}(m, \sigma^2) (X \rightsquigarrow \mathcal(m, \sigma^2))

P(666 \le X \le 732) = P\left(\dfrac{666 - m}{\sigma} \le T \le \dfrac{732 - m}{\sigma} \right) = \Pi\left(\dfrac{666 - m}{\sigma}\right) - \Pi\left(\dfrac{732 - m}{\sigma}\right)

Comment trouver m et \sigma ?

Posté par
verdurinre : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 09:48

Bonjour,
l'énoncé donne m=700 et =20.

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 11:33

P(666 \le X \le 732) = P\left(\dfrac{666 - m}{\sigma} \le T \le \dfrac{732 - m}{\sigma} \right) = \Pi\left(\dfrac{666 - 700}{20}\right) - \Pi\left(\dfrac{732 - 700}{20}\right)

= \Pi(-1,7) + \Pi(1,6) = 0 + 0,9 = 0,9

Posté par
verdurinre : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 12:30

Si T suit la loi normale centrée réduite alors \boxed{\,P(a<T<b)=\Pi(b)-\Pi(a)\,} (extrémité moins origine).
Mais le résultat numérique que tu donnes est assez bon.

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 13:10

matheux14 @ 17-01-2023 à 11:33

P(666 \le X \le 732) = P\left(\dfrac{666 - m}{\sigma} \le T \le \dfrac{732 - m}{\sigma} \right) = \Pi\left(\dfrac{732 - 700}{20}\right) - \Pi\left(\dfrac{666 - 700}{20}\right)

= \Pi(1,6) - \Pi(-1,7) = 0,9 - 0 = 0,9

Posté par
verdurinre : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 13:38

matheux14 @ 17-01-2023 à 13:10

P(666 \le X \le 732) = P\left(\dfrac{666 - m}{\sigma} \le T \le \dfrac{732 - m}{\sigma} \right) = \Pi\left(\dfrac{732 - 700}{20}\right) - \Pi\left(\dfrac{666 - 700}{20}\right)

= \Pi(1,6) - \Pi(-1,7)\color{red} \simeq 0,\!9452 - 0,\!0446 \simeq 0,\!900

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 13:41

Comment vous faites pour trouver la valeur de \Pi(-1,7) ?

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 14:23

Ah je vois.

C'est \Pi(-1,7) = 1 - \Pi(1,7) = 1 - 0,9554 = 0,0446

2) Comment faire ?

Posté par
verdurinre : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 15:17

Pour le 2) on cherche le plus petit réel positif qui convienne, sinon on peut affirmer qu'en prenant h=200 on a bien :
P(700 - h \le X \le 700 + h) \ge 0.95

Donc on cherche h tel que P(700 - h \le X \le 700 + h) = 0,\!95.

Avec les mêmes notations que précédemment on a
\begin{aligned} P(700 - h \le X \le 700 + h)&= P\left(\frac{-h}{20}\le T\le \frac{h}{20}\right) \\ &=\Pi\left(\tfrac{h}{20}\right)-\Pi\left(\tfrac{-h}{20}\right)\end{aligned}.

Il reste alors à appliquer la remarque que tu fis pour calculer \Pi(-1.7) pour pouvoir déterminer \Pi\left(\frac{h}{20}\right)

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 15:31

\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right)-\Pi\left(-\dfrac{h}{20}\right) = 0,95

\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right) - \left(1 - \Pi\left(\dfrac{h}{20}\right)\right) = 0,95

2\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right) - 1 = 0,95

\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right) = \dfrac{1 + 0,95}{2} = \dfrac{39}{40}

\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right) = \dfrac{39}{40}

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 15:39

D'après le tableau récapitulatif de valeur de la fonction de répartition de Gauss :

\Pi\left(\dfrac{h}{20}\right) = \dfrac{39}{40} = 0,975

\Pi(0,06) = 0,975

Donc \dfrac{h}{20} = 0,06 \Longrightarrow h = 20 \times 0,06 = \dfrac{6}{5} = 1,2

h = 1,2

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 15:47

Enoncer ce résultat à l'aide d'une phrase.

La probabilité P(700 - h \le X \le 700 + h) \ge 0.95, ~\forall h \in [6/5, + \infty[

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 16:19

Euh tu es sûr que \Pi(0,06)=0,975 ?
Je te suggère de relire ta table, ce n'est pas ça, et pour les éventuels lecteurs qui ne connaitraient pas cette notation \Pi(x)=P(T<x) avec T une loi normale centrée réduite donc c'est effectivement la surface sous la courbe à gauche de x.
Pour l'énoncé à l'aide d'une phrase, il faut exprimer ce que présente h et ce que représente 0,95. Par exemple, il y a plus de 95% des boules prélevées qui ne s'éloignent pas de plus de h de la valeur moyenne 700.

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 18:58

Probabilité : Loi centrée réduite

Comment faire pour déterminer x tel que \Pi(x) = 0,975

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 19:11

Une fois que tu as trouvé la valeur 0,975 dans une case du tableau, tu sais de quelle ligne et de quelle colonne il s'agit, il ne te reste plus qu'à les additionner pour avoir x

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 19:24

Ah d'accord.

Du coup \Pi(0,06 + 1,9) = 0,975

\Pi(1,96) = 0,975

Donc h/20 = 1,96 \Longrightarrow h = 39,2

h = 39,2.

Il y a plus de 95% des boules prélevées qui ne s'éloignent pas de plus de 39,2 de la valeur moyenne 700.

Mais j'avoue que je ne comprends pas cette phrase..

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 19:43

Ok pour le calcul.
Est-ce que c'est plus clair avec le schéma suivant ?

Probabilité : Loi centrée réduite

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 19:55

Oui, cela voudrait dire qu'il y a plus de 95% de boules prélevées qui ne s'éloigne pas de 39,2 g de la valeur moyenne 700g.

Ou encore qu'il y a plus de 95% de boules prélevées qui ont une masse comprise entre 700 - 39,2 = 660,2 g et 700 + 39,2 = 739,2 g.

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 19:59

Exactement, j'avais choisis la première formulation comme la question portait spécifiquement sur h mais ton autre formulation est tout à fait valable (au détail près que 700-39,2=660,8).
Bon courage pour la suite de l'exercice.

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:05

3) On admet que 8% des boules sont refusées à la cuisson.

On prélève au hasard, successivement et avec remise, n boules dans la production. On note Y_n la variable aléatoire qui à tout prélèvement de n boules associe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson.
Cette variable aléatoire Y_n suit une loi binomiale. Dans le cas n = 10.

a) calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson ;

Comment traduire cela en terme de probabilité ?

Est-ce qu'il faut calculer P(Y_{10} = 3) ?

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:07

Oui, tout à fait

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:11

b) Calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules prélevées, au moins 7 boules acceptées à la cuisson.

Puis pour la question b) calculer P(Y_{10} \ge 7) ?

Posté par
Vassilliare : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:53

Oui, il n'y a plus qu'à calculer maintenant

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:56

D'accord, j'ai un autre exo que je vais poster.

Merci beaucoup

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 17-01-23 à 20:56

Merci aussi à verdurin

Posté par
matheux14re : Probabilité : Loi centrée réduite 18-01-23 à 10:29

Citation :
Puis pour la question b) calculer P(Y_{10} \ge 7) ?


Ce ne serait pas plutôt P(Y_{10} < 3) ?


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