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Probabilité révision

Posté par margotte (invité) 07-08-05 à 11:48

Bonjour, pouvez vous m'aider à démarrer cet exercice car je bloque sur pas mal de point. merci

Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts (n
>= 2). Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant
demandé est égale à p appartenant à ]0, 1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir est q, avec q = 1 —
p.
1. Soit X le nombre de
correspondants obtenus lors de ces n appels. Quelle est la loi de X ?
Préciser l'espérance E(X) et la variance V(X).
2. Après ces n recherches,
la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n — X correspondants
qu'elle n'a pas obtenus la
première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la
deuxième série d'appels, et Z = X + Y le
nombre total de correspondants obtenus.

a) Quelles sont les valeurs prises par Z ?
(b)
Calculer p0 = P(Z = 0),p1 = P(Z = 1). Montrer que p1= npq2n-2(l + q).

(c) Calculer les probabilités conditionnelles P(x=k)(Y =
h) pour k et h appartenant à {0, 1, ... ,
n}.

(d) Justifier P(Z = s) = sum P((X
= k) n (Y= s - k)) de k=0 à s.
vérifier que (n/ k)=(n-k/s-k)=(n/s)(s/k)
(f) Calculer ps=
P(Z = s), et montrer que Z suit
une loi binomiale de paramètres n et p(l + q); pouvez-vous donner
une justification probabiliste du résultat.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilité révision 07-08-05 à 12:03

1. est une application directe du cours. Ce type de situation a un nom. L'as-tu retrouvé ? Qu'obtiens-tu comme résultat ?

Posté par margotte (invité)re : Probabilité révision 07-08-05 à 21:11

je pense que c'est bernoulli, pour la première question ca va c'est pour le reste que je bloque.

Posté par margotte (invité)Quelqu un pourrait il m aider ? 08-08-05 à 20:06

C'est vraiment n'importe quoi cet exo je suis complètement perdue quelqu'un pourrait il m'éclairer?

Posté par
enzore : Probabilité révision 08-08-05 à 22:50

Salut margotte,

Question 1

X suit une loi binomiale (n répétitions d'expériences de Bernouilli)
Donc XB(n,p)
E[X] = np
V[X] = np(1-p)   /*résultats connus de la loi binomiale*/

Question 2
On a Z=X+Y

a)
Il est évident que 0 Z n


b) Calcul de P[Z=0]
Z=0 X=0 et Y=0
On cherche donc: P[X=0 Y=0].
Attention ici, X et Y ne sont pas indépendants, donc:
P[X=0 Y=0] = P[Y=0/X=0] * P[X=0]

On a vu que XB(n,p) donc

P[X=k] = Ckn pk (1-p)n-k
En remplaçant k par 0, on obtient:

P[X=0] = C0n p0 (1-p)n
       = (1-p)n

Il reste à calculer P[Y=0/X=0]
Y est également une binomiale de paramètres (n-k) et p --> YB(n-k,p)
Par conséquent P[Y=h] = Ch(n-k) ph (1-p)(n-k-h)

P[Y=0/X=0] = C0(n) p0 (1-p)n
           = P[X=0] /*ce qui est tout fait logique*/
           = (1-p)n

Ainsi P[Z=0] = (1-p)2n

J'espère que tout ceci est correct.....ce serait pas mal que qqun valide cette démarche. J'espère en tout cas que ça va te permettre d'avancer

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 00:05

Margotte, j'ai calculé P[Z=1] et je trouve:

P[Z=1] = npq2n-2 (1+q).  Je ne sais pas si c'est une erreur d'énoncé que tu as faite ou si c moi qui suit parti en freestyle encore une fois....

Posté par margotte (invité)oui c est une erreur d énoncé de ma part 09-08-05 à 10:52

Merci bcp, j'avais fait une erreur d'énoncé et la suite me parait encore plus chaotique...
Il est super dur cet exo.

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 12:11

Allez, fo pas se décourager

Pour calculer P[Z=1]
Z=1 (X=1 et Y=0) ou (X=0 et Y=1)

Il suffit donc de calculer P[(X=1Y=0)(X=0Y=1)]

En utilisant les formules de la binomiale, ça se fait...

Posté par margotte (invité)re : Probabilité révision 09-08-05 à 14:32

Ca se fait ca se fait plus facile à dire qu'à faire, je tourne en rond et je m'énerve sur ma feuille, les probabilités je crois que c'est vraiment pas pour moi, comment faut il faire pour y arriver, j'ai beau faire plein d'exos je bloque toujours...

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 14:48

Bon, j'espère que tu as compris que pour que Z=1, il faut que (X=1 et Y=0) ou (X=0 et Y=1).

Ce qui se traduit en terme probabiliste par: (X=1Y=0) (X=0Y=1)

On cherche alors:

P[(X=1Y=0) (X=0Y=1)]

Remarquons tout d'abord que les évènements (X=1Y=0) et
(X=0Y=1) sont incompatibles (ils ne peuvent pas se réaliser en même temps). Donc:

P[(X=1Y=0) (X=0Y=1)] = P(X=1Y=0) + P(X=0Y=1)

Il s'agit maintenant de calculer les deux quantités ci-dessus. En utilisant la formule de Bayes:

P(X=1Y=0) = P[Y=0/X=1]*P[X=1]
P(X=0Y=1) = P[Y=1/X=0]*P[X=0]

P[X=0]= (1-p)n
P[X=1]= C1n p1 (1-p)n-1
      = np(1-p)n-1

P[Y=0/X=1] = C0n-1 p0 (1-p)n-1
           = (1-p)n-1

P[Y=1/X=0] = C1n p1 (1-p)n-1
           = np(1-p)n-1


Voilà, on réunit tout ce mic mac et on calcule maintenant P[Z=1]

P[Z=1] = (1-p)n-1 * np(1-p)n-1 + (1-p)n * np(1-p)n-1

       = np(1-p)2n-2 (1+(n-p))
       = npq2n-2(1+q)

ça va?? Il y a beaucoup de calculs, mais ce n'est pas la principale difficulté

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 15:06

D'ailleurs le fait que Z=1 (X=1 et Y=0) ou (X=0 et Y=1) est repris dans la question (d) où on te demande une généralisation de cette écriture.

Posté par margotte (invité)re : Probabilité révision 09-08-05 à 20:04

merci, ok jusque là ca va j'ai compris, mais pour la c et la généralisation c'est la panique...

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 21:36

Pourrais-tu clarifier la question (c)?

Quant au début de la question (d), je ne vois pas où est le problème !!
On te demande de vérifier que:

P[Z=s] = P[X=k Y=s-k]

Tu sais que Z=X+Y
Donc P[Z=s]=P[X+Y=s]

Il suffit donc que le nombre de correspondants obtenus au premier essai (X) plus ceux obtenus au deuxième essai (Y) soit égal à s.
Ainsi, qqsoit k, il faut que k+h=s (où h est le nb de réussites pour Y) et donc que h=s-k

Ceci correspond aux situations X=k et Y=s-k, soit (X=k Y=s-k), pour tout k allant de 0 à s.
/* en effet, si s=k+h, il est facile d'observer que 0<=k<=s*/

Posté par
enzore : Probabilité révision 09-08-05 à 21:42

question (f)

Tu utilises ce qui est écrit à la question (d), soit:

P[Z=s] = P[X=k Y=s-k]

Utilises la formule de Bayes....P(AB) = P(A/B)P(B)

Il ne reste pas grand-chose maintenant....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilité révision 14-08-05 à 14:11

Je reviens sur cet exercice, qui n'avait pas été tout-à-fait terminé.

Les premières réponses sont les mêmes que enzo ci-dessus, en un peu plus simple. Par exemple, pour montrer P(X=1), ce n'est pas indispensable de sortir les C_n^p : P(X=1)=P(1 réussite)P(n-1 échecs).(choix de l'appel réussi dans 1, ... n)=npq^{n-1}
Les dernières réponses sont inédites.

Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts (n>= 2). Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant
demandé est égale à p appartenant à ]0, 1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir est q, avec q = 1 — p.

1. Soit X le nombre de =correspondants obtenus lors de ces n appels. Quelle est la loi de X ? Préciser l'espérance E(X) et la variance V(X).

X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
E(X)=np
V(x)=npq

2. Après ces n recherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n — X correspondants qu'elle n'a pas obtenus la première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d'appels, et Z = X + Y le nombre total de correspondants obtenus.

a) Quelles sont les valeurs prises par Z ?

1 \le Z \le N

(b) Calculer p_0 = P(Z = 0), p_1 = P(Z = 1). Montrer que p_1= npq^{2n-2}(1+q).

p_0=P(Z=0)=P(X=0\cap Y=0)=P(Y=0/X=0).P(X=0)=q^n q^n=q^{2n}

p_1=P(Z=1)=P((X=0\cap Y=1)\cup(X=1 \cap Y=0))
= P(X=0\cap Y=1)+P(X=1 \cap Y=0) (événements incompatibles)
=P(Y=1/X=0)P(X=0)+P(Y=0/X=1).P(X=1)
=npq^{n-1}.q^n+q^{n-1}.npq^{n-1}
=npq^{2n-2}(1+q)

(c) Calculer les probabilités conditionnelles P(Y=h/X=k) pour k et h appartenant à {0, 1, ... ,n}.

P(Y=h/X=k) = P(h réussites sur n-k essais) = \(n-k\\h\)p^hq^{n-k-h}

(d) Justifier P(Z=s) = \Bigsum_{k=0}^s P(Y=s-k/X=k).P(X=k)

P(Z=s)=\Bigsum_{k=0}^s P(X=k \cap Y=s-k)=\Bigsum_{k=0}^s P(Y=s-k/X=k).P(X=k)

(e) Vérifier que \(n\\k\)\(n-k\\s-k\)=\(n\\s\)\(s\\k\)

Il suffit de l'écrire.

(f) Calculer p_s=P(Z=s), et montrer que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p(1+q)

P(Z=s)=\Bigsum_{k=0}^s P(X=k \cap Y=s-k)=\Bigsum_{k=0}^s P(Y=s-k/X=k).P(X=k)
Or, d'après la 2ème question, P(Y=s-k/X=k)=\(n-k\\s-k\)p^{s-k}q^{n-s}
Et P(X=k)=\(n\\k\)p^kq^{n-k}
Donc :
P(Z=s)=\Bigsum_{k=0}^s \(n-k\\s-k\)p^{s-k}q^{n-s} \(n\\k\)p^kq^{n-k}
=\Bigsum_{k=0}^s \(n-k\\s-k\) \(n\\k\) p^s q^{2n-s-k}
=\Bigsum_{k=0}^s \(n\\s\) \(s\\k\) p^s q^{2n-s-k}
=\(n\\s\) p^s q^{2n-2s} \Bigsum_{k=0}^s \(s\\k\) 1^s q^{s-k}
=\(n\\s\) p^s q^{2n-2s} (1+q)^s
=\(n\\s\) (p(1+q))^s (q^2)^{n-s}
Or 1-p(1+q)=1-p-pq=1-1+q-(1-q)q=q-q+q^2=q^2
Donc P(Z=s)=\(n\\s\) (p(1+q))^s (1-p(1+q))^{n-s}
Donc Z suit une loi binomiale de paramètres n et p(1+q)

(g) pouvez-vous donner une justification probabiliste du résultat ?

Pour cette dernière question, je ne vois pas bien.

Nicolas


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