Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Probabilites ...

Posté par jerry24 (invité) 30-01-07 à 22:52

bonsoir, j'ai un exam de proba la semaine prochaine, je taffe des exos et je suis bloqué sur quelques uns...
j'en mets deja un , on verra par la suite...

X et Y deux variables aleatoires  independantes qui suivent une loi de Cauchy
trouver les lois de :
** 1/X => je pense que ca fait une cauchy aussi...
** (1+Y)/(1-Y) => par la methode des fctions muettes je trouve une densité egale à (1/pi)*2/(1+2X²) ms je pense que c'est faux...
** (1+XY)/2X => là j'arrive meme pas le chgment de variables

***si vous kiffez la proba, alors il reste la loi aussi de (U+V)/(U-V)  avec U et V independantes de meme loi, suivant une normale centrée reduite.
en preliminaire, il fallait la loi de U/V => j'ai trouvé qu'elle suivait une cauchy, c'est OK.

ben voila, bon courage et merci par avance

j'ai kelkes autres questions en proba dc si vs avez un petit quart d'heure a me consacrer, je vs filerai mon mail ou num de tel ou votre mail ou num de tel... ca serait super cool )

Bonne soirée et encore merci
a bientot
Jeremy

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 30-01-07 à 23:35

Bonsoir jerry24

Citation :
** 1/X => je pense que ca fait une cauchy aussi...


Je trouve la même chose.

Citation :
** (1+Y)/(1-Y) => par la methode des fctions muettes je trouve une densité egale à (1/pi)*2/(1+2X²) ms je pense que c'est faux...


Pour ma part, je trouve également une loi de Cauchy. À un moment,au dénominateur, tu devrais te retrouver avec \Large{(1-x)^{2}+(1+x)^{2}} qui vaut \Large{2(1+x^{2})}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 01-02-07 à 19:57

c'est remoi !

Citation :
** (1+XY)/2X => là j'arrive meme pas le chgment de variables


Là, pas de mystère : il faut effectuer le changement de variables

\Large{\{x=x\\ z=\frac{1+xy}{2x}}.

Ensuite, il faut Fubiniser puis calculer ! :D



Citation :
***si vous kiffez la proba, alors il reste la loi aussi de (U+V)/(U-V) avec U et V independantes de meme loi, suivant une normale centrée reduite.


Il faut remarquer que \Large{\frac{U+V}{U-V}=\frac{1+Y}{1-Y}} avec \Large{Y=\frac{V}{U}} puis utiliser une des questions précédentes.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 15:32

Bonjour

Je remonte et propose une correction pour ceux que ça intéresse !
(quoi, moi ? je n'ai rien d'autre à faire ? non !! )

Dans tout ce qui suit, f sera une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles, continue et bornée.

Citation :
** 1/X


On poser \Large{Z=\frac{1}{X}}

\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{1}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(\frac{1}{x})}{1+x^{2}}dx}

On effectue ensuite le changement de variable z=1/x. Il vient alors :


\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{1}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{1+\frac{1}{z^{2}}}\frac{dz}{z^{2}}=\frac{1}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{1+z^{2}}dz}

Ainsi, 1/x suit bien une loi de Cauchy.


Citation :
** (1+Y)/(1-Y)


On pose \Large{Z=\frac{1+Y}{1-Y}}

L'application \Large{y\mapsto \frac{1+y}{1-y}} est un \Large{C^{1}}-difféomorphisme de \Large{\mathbb{R}-\{1\}} dans \Large{\mathbb{R}-\{-1\}}
On effectue le changement de variable \Large{z=\frac{1+y}{1-y}}, alors \Large{y=\frac{z-1}{z+1}}, donc \Large{dy=\frac{2dz}{(1+z)^{2}}} et :



\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{1}{\pi} \Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{1+(\frac{z-1}{z+1})^{2}}\frac{2dz}{(1+z)^{2}}=\frac{2}{\pi} \Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{(z+1)^{2}+(z-1)^{2}}dz=\frac{1}{\pi} \Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{1+z^{2}}dz}

Ainsi, on voit que Z suit aussi une loi de Cauchy.

Citation :
** (1+XY)/2X

On pose \Large{Z=\frac{1+XY}{2X}}

Ici, on effectue le changement de variable de mon message posté le 01/02/2007 à 19:57

On a alors :

\Large{y=\frac{2zx-1}{x}}

et

\Large{\{dx=dx\\ dy=\frac{dx}{x^{2}}+2dz}

ce changement de variable est un \Large{C^{1}}-difféomorphisme de \Large{\mathbb{R^\ast}\times \mathbb{R}} dans lui-même et par un calcul simple, on voit que son jacobien vaut exactement 2.
alors, on a grâce à la formule du changement de variable et par indépendance de X et Y :

\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{2}{\pi^{2}}\Bigint_{\mathbb{R}^{2}}\frac{f(z)}{(1+x^{2})(1+(\frac{2zx-1}{x})^{2})}dxdz}

Ici, on suppose sans restreindre la généralité que f est positive.
D'après le théorème de Fubini (Tonelli), on a :

\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{2}{\pi^{2}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(z)g(z)dz}

Avec \Large{g(z)=\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+(\frac{2zx-1}{x})^{2})}=\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{x^{2}dx}{(1+x^{2})(x^{2}+(2zx-1))^{2}}}

Or \Large{(x^{2}+(2zx-1))^{2}=(4z^{2}+1)x^{2}-4zx+1}

Ici, le discriminant vaut \Large{\Delta=16z^{2}-4(4z^{2}+1)=-4}

donc ses racines sont \Large{\frac{1}{2z-i}} et \Large{\frac{1}{2z+i}}.
maintenant, on a le choix, soit on est courageux et on fait une décomposition en éléments simples (il y a un peu de calcul mais bon, vu que les poles sont simples, c'est pas insurmontable), soit on utilise un corollaire du théorème des résidus permettant de calculer l'intégrale sur \Large{\mathbb{R}} d'une fraction rationnelle n'ayant pas de pole réels, quand cela est bien défini.
Plus précisément, on utilise le fait que si P et Q sont deux polynômes à coefficients complexes premiers entre eux tels que \Large{\deg(Q)\geq \deg(P)+2 } avec Q qui n'admet pas de racines réelles, alors :

\Large{\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{P(t)}{Q(t)}dt=2i\pi \bigsum_{z\in E}Res_{z}(\frac{P}{Q}) où E est l'ensemble des racines de Q qui sont de partie imaginaire strictement positive.

Ici, E est réduit à i et à \Large{\frac{1}{2z-i}}.
Il reste à calculer le résidu de notre fraction rationnelle en ces deux points.
Notons F la fraction rationnelle intrégrée


\Large{Res_{i}(F)=\[(X+i)F\]_{X=i} \\ \\ =\frac{-1}{(2i)(-(4z^{2}+1)-4izx+1)}=\frac{1}{8iz}\frac{1}{z+i}}

Avant de passer au calcul de l'autre résidu, on dit d'abord que

\Large{(4z^{2}+1)x^{2}-4zx+1=(4z^{2}+1)(x-\frac{1}{2z-i})(x-\frac{1}{2z+i})}

on en déduit :


\Large{Res_{\frac{1}{2z-i}}(F)=\[(x-\frac{1}{2z-i})F\]=\frac{1}{4z^{2}+1}\frac{\frac{1}{(2z-i)^{2}}}{(1+\frac{1}{(2z-i)^{2}})(\frac{1}{2z-i}-\frac{1}{2z+i}))}=\frac{1}{4z^{2}+1}\frac{1}{(1+(2z-i)^{2})\frac{2i}{4z^{2}+1}} \\ \\ =\frac{1}{2i}\frac{1}{4z^{2}-4iz}=\frac{1}{8iz}\frac{1}{z-i}}

Ainsi,

\Large{g(z)=2i\pi\frac{1}{8iz}(\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i})=\frac{\pi}{2}\frac{1}{z^{2}+1}}

Finalement, on trouve :

\Large{\mathbb{E}[f(\frac{1+XY}{2X})]=\frac{2}{\pi^{2}}\Bigint_{\mathbb{R}}f(z)g(z)dz=\frac{2}{\pi^{2}}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{\pi}{2}\frac{f(z)}{z^{2}+1}dz=\frac{1}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{z^{2}+1}dz}

donc \Large{\frac{1+XY}{2X}} suit une loi de Cauchy.


Citation :
***si vous kiffez la proba, alors il reste la loi aussi de (U+V)/(U-V) avec U et V independantes de meme loi, suivant une normale centrée reduite.
en preliminaire, il fallait la loi de U/V => j'ai trouvé qu'elle suivait une cauchy, c'est OK.


On suppose que le calcul de la loi de V/U a déjà été fait (on le fera après).
alors en posant \Large{Y=\frac{V}{U}}, Y suit une loi de Cauchy et on remarque que \Large{\frac{U+V}{U-V}=\frac{1+Y}{1-Y}} avec Y qui suit une loi de Cauchy, donc d'après le calcul fait plus haut, cette variable suit une loi de Cauchy.
Passons maintenant à la preuve de résultat préliminaire admis précédemment.

On suppose donc que U et V sont deux variables indépendantes suivant la même loi \Large{\mathcal{N}(0;1)}.
Ici, aussi, sans restreindre la généralité, on suppose que f est positive.

On pose \Large{Z=\frac{U}{V}}, donc par indépendance de U et V :

\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}^{2}}f(\frac{u}{v})\exp(-\frac{u^{2}+v^{2}}{2})dudv}

On effectue ensuite le changement de variable :

\Large{\{v=v\\ z=\frac{u}{v}}

l'application qui à (z,v) associe (u,v) est clairement un \Large{C^{1}}-difféomorphisme de \Large{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^\ast} dans lui même.

On a \Large{u=vz

\Large{\{dv=dv\\ du=zdv+vdz}

Le jacobien de cette application vaut v, alors le théorème du changement de variable nous donne :

\Large{\mathbb{E}[f(Z)]=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}^{2}}f(z)|v|\exp(-\frac{v^{2}}{2}(1+z^{2}))dvdz=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}f(z)h(z)dz}
(on a de nouveau utilisé le théorème de Fubini-Tonelli en choisissant d'intégrer d'abord par rapport à v)

où \Large{h(z)=\Bigint_{\mathbb{R}}|v|\exp(-\frac{v^{2}}{2}(1+z^{2}))dv=2\Bigint_{0}^{+\infty}v\exp(-\frac{v^{2}}{2}(1+z^{2}))dv} (par parité)

donc

\Large{h(z)=\[\frac{-2}{z^{2}+1}\exp(-\frac{v^{2}}{2}(1+z^{2}))\]_{0}^{+\infty}=\frac{2}{z^{2}+1}}

donc finalement, on a :


\Large{\mathbb{E}[f(\frac{U}{V})]=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{2f(z)}{z^{2}+1}dz=\frac{1}{\pi}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{f(z)}{z^{2}+1}dz}

Donc U/V suit bien une loi de Cauchy.

Kaiser

Posté par
borneore : Probabilites ... 08-07-07 à 17:05

Posté par
simon92re : Probabilites ... 08-07-07 à 17:08

wouhaaaaaaaaaaa!!! j'ai cru que c'était nicolas qui l'avait fait au bébut! bravo Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 17:11

Merci !

Posté par
stokastikre : Probabilites ... 08-07-07 à 20:29

Savez-vous que la loi de Cauchy est la loi de \frac{Z_1}{Z_2} où Z_1 et Z_2 sont indépendantes et chacune de loi normale centrée réduite. Autrement dit la loi de Cauchy est la loi de la tangente de l'angle entre l'axe des abscisses et la demi-droite passant par (Z_1, Z_2).

Ceci permet peut-être de démontrer ces résultats, ou certains, sans calculer d'intégrale.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 08-07-07 à 20:56

Bravo (et salut! ) Kaiser!

Tu t'es mis aux probas?
(J'ai l'impression que c'est un choix par défaut pour l'agreg, me trompé-je? )

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:01

Stokastik >

Citation :
Ceci permet peut-être de démontrer ces résultats, ou certains, sans calculer d'intégrale.


peut-être. certaines des variables aléatoire me font penser à des formules de trigo (du genre tan(a+b)..)

Tigweg > Merci !
Sinon, j'aime bien les probas depuis un peu bout de temps ! (en même temps, ici, c'est plus du calcul intégral que de la proba)
Cela dit, je ne sais pas trop si ça sera effectivement ça que je choisirai : il ne faut pas oublier que c'est proba et stats, et c'est surtout les stats qui m'y font réfléchir à 2 fois. Bref, j'ai l'impression que ça sera plutôt calcul scientifique, mais bon j'ai encore un peu de temps pour me décider.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:09

D'accord!
En tous cas, si tu optes pour Calcul Scientifique, Cauchy - qui apparaît décidément beaucoup dans ce topic sans avoir eu à ouvrir la bouche une seule fois - te sera d'une aide précieuse!

Perso j'aimais bien l'esprit des stats, mais j'ai (presque) tout oublié(comme beaucoup d'autres choses d'ailleurs)...

Sais-tu finalement si tu iras à Cachan ou à Ker Lann?
Tigweg

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:29

Citation :
En tous cas, si tu optes pour Calcul Scientifique, Cauchy - qui apparaît décidément beaucoup dans ce topic sans avoir eu à ouvrir la bouche une seule fois - te sera d'une aide précieuse!



Oui, je sais. D'ailleurs, je ne t'ai pas dit ? Je hais l'analyse numérique ! (mais bon, je pense que je m'en sortirai mieux qu'en stats, enfin, je l'espère

Citation :
Perso j'aimais bien l'esprit des stats, mais j'ai (presque) tout oublié(comme beaucoup d'autres choses d'ailleurs)..


En ce qui me concerne, j'ai suivi un cours très accéléré en septembre (des blocs de 4 heures, et ce pendant environ 3 semaines, et c'est tout) et donc, je n'ai pas vraiment eu le temps d'imprimer !

Citation :
Sais-tu finalement si tu iras à Cachan ou à Ker Lann?


J'ai demandé Cachan. Officiellement, je ne le saurais que vers fin juillet, il me semble mais normalement, ça ne devrait pas poser de problème.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:32

OK!

J'imagine que les premiers servis sont ceux qui ont obtenu les meilleurs résultats?

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:34

oui ! mieux tu es classé, plus tu as de chance que ton voeu corresponde à ce que l'on te donnera.

Kaiser

Posté par
infophilere : Probabilites ... 08-07-07 à 21:38

Joli correction

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:39

OK, dans ce cas je ne m'en fais pas!

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:40

Merci Kévin !
Sinon, ça se voyait tant que ça que j'avais envie de \LaTeX-ifier ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:42

Tigweg >
cela dit, 2 ou 3 places en dessous, et je me serais fait plus de soucis !

Posté par
infophilere : Probabilites ... 08-07-07 à 21:45

Oui flagrand même

J'ai pris ma dose de 5$ \LaTeX (en gros pour Greg )

Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:45

Posté par
stokastikre : Probabilites ... 08-07-07 à 21:57

C'est vrai qu'on peut avoir des difficultés à saisir l'esprit des stats (c'était mon cas) mais aussi les leçons de stats de l'agreg me semblent hard du point de vue théorique. Enfin celles que j'ai aperçues par hasard.

Posté par
stokastikre : Probabilites ... 08-07-07 à 22:10

... j'ai oublié d'ajouter qu'il est dommage de séparer les stats du calcul scientifique car pour appliquer les stats il faut programmer les calculs

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 08-07-07 à 22:12

infophile-> ça restera dans les annales ça!

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 08-07-07 à 22:56

Salut à tous on parle de moi

Citation :
il ne faut pas oublier que c'est proba et stats, et c'est surtout les stats qui m'y font réfléchir à 2 fois.


Toi aussi

Citation :

J'ai demandé Cachan. Officiellement, je ne le saurais que vers fin juillet, il me semble mais normalement, ça ne devrait pas poser de problème.


C'est fin juillet qu'ils nous répondent?

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 23:06

Citation :
C'est fin juillet qu'ils nous répondent?


Lorsque j'avais posé la question au service concours, il me semble que c'est ce que l'on ma dit.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 08-07-07 à 23:12

Comme on a renvoyé la semaine dernière, je pensais que la procédure allait plus vite ou qu'ils nous envoyaient au moins un mail

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilites ... 08-07-07 à 23:15

on verra bien ...

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 08-07-07 à 23:39

C'est sûr

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 01:14

Salut Cauchy, heureux de te voir ici!

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 09-07-07 à 01:46

Salut Tigweg,

heureux de le savoir

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 01:56

Posté par
infophilere : Probabilites ... 09-07-07 à 01:57

Tigweg > bac

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:02

Oulà, ben déjà il est pas sur internet Tigweg quand il est en classe!
Cela dit, ce n'est pas à moi de me prononcer!

Posté par
infophilere : Probabilites ... 09-07-07 à 02:05

Je suis sûr que t'es un très bon prof, comme spmtb j'aurais bien aimé t'avoir comme prof

Bon allez je retourne à mes pigeons (énigme de minkus)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:09

C'est gentil, mais cette année a été un peu difficile tout de même (ma première au Lycée!)
Bonne minkusation!

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:09

Moi aussi j'en suis sûr, déja si il rédige aussi bien au tableau que les derniers latexifiages

Bon aller moi je vais me coucher a+

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:20

Lol les élèves n'aiment pas trop copier, tu sais!
Ils attendent plutôt des trucs faciles où y a pas à se casser la tête, ce qui est une problématique toute différente!

Bonne nuit Cauchy!

Tigweg

Posté par
infophilere : Probabilites ... 09-07-07 à 02:22

Le problème c'est que quand ils ne copient pas, ils s'endorment (j'en ai fait l'expérience cette année avec ma prof d'histoire qui faisait cours sur poly )

Je vais dormir, bonne soirée à vous !

Posté par
Cauchyre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:24

Bonne nuit à vous

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:27

infophile> Oui, c'est plus facile comme façon de faire cours, en même temps il me semble que le programme d'HG est déraisonnablement chargé en Terminale!

Bonne nuit Kevin!

Posté par
infophilere : Probabilites ... 09-07-07 à 02:32

Citation :
en même temps il me semble que le programme d'HG est déraisonnablement chargé en Terminale!


M'en parle pas, des fois je me demandais si j'étais bien en section scientifique

A bientôt

Posté par
Tigweg Correcteurre : Probabilites ... 09-07-07 à 02:40


A bientôt.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1681 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !