Bonjour,

on peut sortir le terme du dénominateur vu qu'il ne dépend pas de k déja.

Oui,on a alors
_k=0ⁿC_n1^k C_n2^n-k= C_n1+n2ⁿ
et
n1!.n2!_k=0ⁿ1/(k!(n-k)!(n-k)!(n2-n+k)!)=C_n1+n2ⁿ
Je ne sais pas si la deuxième expression est utile.

On a aussi
C_n1^k.z^k.C_n2^k.z^k=C_n1+n2^k.z^k.

On a n1>=n et n2>=n?

Oui

Une idée serait peut etre d'identifier les coefficients de z^n dans le développement de (1+z)^(n1+n2) et de l'autre en utilisant ton égalité j'ai pas essayé.

Oui c'est ca ca fonctionne il faut identifier sur les i+j=n puis faire un changement d'indice.

Dsl mais je ne comprends pas ce que je dois faire, j'ai
comme (1+z)ⁿ¹(1+z)ⁿ²=(1+z)ⁿ¹⁺ⁿ²
_k=0ⁿ¹C_n1^k.z^k._k=0ⁿ²C_n2^k.z^k=_k=0ⁿ¹C_n1+n2^k.z^k
Mais je ne sais pas comment faire pour identifier les coéfficients de zⁿ

Voila à partir de la quel est le coefficient de z^n dans le terme de droite?

C_n1+n2^k

Mais c'est le coefficient de gauche que je n'arrive pas à trouver

Le coefficient de gauche pour obtenir z^n comment tu fais:

imagine que t'aies:

(a0+a1+....anx^n)(b0+b1x+...bmx^m) et que tu veux trouver le coefficient de x^5 du produit par exemple comment fais tu?

Je développe?

Disons que c'est un peu lourd,mais tu remarques plutot que les termes d'ordre n vont etre les aibjx^(i+j) avec i+j=n.

On obtient donc que
_k=0ⁿC_n1^k.C_n2^n-k.zⁿ=C_n1+n2ⁿ.zⁿ
Puis on simplifie et on l'égalité souhaitée.
oK
Mercie bcp!

De rien

bonsoir,
on a n₁boules blanches et n₂boules rouges dans un sac,on en tire n on obtient l'égalité précédente en distinguant les cas où on tire 0,1,...,k .;blanches et n,n-1..n-k.. rouges