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Probabilités

Posté par Yvaine (invité) 26-07-06 à 16:16

Bonjour à tous je fais un exercice tout simple de révisions mais il me pose quelques problèmes si vous pouviez m'aider avec quelques pistes!

j'ai X, Y ,Z trois variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi géométrique sur N* de paramètre p

j'ai W=X+Y

j'ai trouvé que la loi de W est p(W=k)=p2*(1-p)2k-2
(je n'en suis pas persuadée mais bon je crois que c'est juste!)

Ensuite j'ai trouvé p(Z>k)=(1-p)k

Mais ensuite on me demande de calculer p(W<Z)...et là je sèche comme les deux sont des variables je ne vois pas comment on écrit cela...pourriez vous m'expliquer le principe?

Ensuite une dernière question j'ai U=max(X,Y)
On me demande P(Uk) et p(U=k)

j'ai fait comme cela mais je ne suis pas sûre...
P(Uk)= p(XkYk)= p(Xk)*p(Yk)= (p*(1-p)0+...+p*(1-p)k-1)*(p(1-p)0+...+p(1-p)k-1)= p((1-p)k-1/p)*p((1-p)k-1/p)= (1-p)2k-2  

et puis après pour p(U=k)on effectue    p(U k+1)-p(Uk)
Est-ce-que je me trompe?
Merci d'avance et bonne journée!

Posté par Yvaine (invité)re : Probabilités 26-07-06 à 16:18

oups non j'ai trouvé p(W=k)=p2(1-p)k-2
pardon!

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 26-07-06 à 21:18

Bonsoir Yvaine.
Peux-tu nous préciser ce que tu entends par loi géométrique de paramètre p sur N* ?
Cordialement RR.

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilités 26-07-06 à 21:37

Bonsoir

raymond> Il me semble qu'une variable aléatoire X qui suit cette loi vérifie que pour tout entier naturel non nul k,

\Large{\mathbb{P}(X=k)=p(1-p)^{k-1}}.

Kaiser

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 26-07-06 à 22:17

Bonsoir et merci kaiser.
C'est bien ce que pensais, j'ai donc attaqué le problème sous cette hypothèse.
Pour la loi de W, je ne trouve pas le même résultat que Yvaine.

1°) Loi de W = X + Y.

W décrit l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 2.
2$\textrm P(W = k) = \Bigsum_{i=1}^{k-1}P(X = i)P(Y = k-i)
2$\textrm P(W = k) = p^2\Bigsum_{i=1}^{k-1}q^{k-2}. Donc :

\fbox{2$\textrm P(W = k) = (k-1)p^{2}q^{k-2} avec k\ge 2}

2°) Calcul de P(Z > k) : je trouve également qk, avec k 0.

3°) Pour P(W < Z), je décompose sur le système complet (Ei), où Ei est l'événement Z = i, et j'écris que :

2$\textrm P(W < Z) = \Bigsum_{i=1}^{\infty}P(W < Z/Z = i)P(Z = i).

Pour le moment, je cherche à calculer cette somme. Etes-vous d'accord avec ce point de départ ?
Cordialement RR.

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilités 26-07-06 à 22:27

Je dis peut-être une bêtise mais n'aurait-on pas \Large{\mathbb{P}(W<Z|Z=i)=\mathbb{P}(W<i)} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Probabilités 26-07-06 à 22:31

En effet, en passant par les ensembles, on a que \Large{\{W<Z\}=\bigcup_{i=1}^{+\infty}\(\{W<Z\}\bigcap\{Z=i\}\)=\bigcup_{i=1}^{+\infty}\(\{W<i\}\bigcap\{Z=i\}\)}.

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 26-07-06 à 22:40

C'est justement à cause de ceci que l'on peut faire le calcul.

Mes premiers résultats donnent :

2$\textrm P(W < Z) = \Bigsum_{i=3}^{+\infty}\Bigsum_{k=2}^{i-1}p^{2}(k-1)q^{k-2}pq^{i-1}

2$\textrm P(W < Z) = p^{3}\Bigsum_{i=3}^{+\infty}\Bigsum_{k=2}^{i-1}(k-1)q^{k-2}q^{i-1}

Je cherche à sommer ce résultat en utilisant la dérivée de \frac{1 - q^N}{1 - q}.
Pour le moment je ne trouve pas un résultat très simple.

Posté par
stokastikre : Probabilités 26-07-06 à 23:26


kaiser, on a bien l'égalité de ton post de 22:27 en vertu de l'indépendance entre W et Z.

Posté par
stokastikre : Probabilités 26-07-06 à 23:30


P(W<Z)=\sum P(i<Z)P(W=i) ça n'irait pas mieux ?

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 26-07-06 à 23:31

Je ne donne pas tous les détails de calcul.

2$\textrm\Bigsum_{k=2}^{i-1}(k-1)q^{k-2} = \frac{(i-2)q^{i-1}-(i-1)q^{i-2} + 1}{(1 - q^2}

Alors, P(W < Z) se décompose en trois sommes :

1°)2$\textrm\Bigsum_{i=3}^{+\infty}(i-2)q^{2i-2}
= 2$\textrm q^{4}\Bigsum_{i=3}^{+\infty}(i-2)(q^2)^{i-3} = \frac{q^4}{(1-q^{2})^2}

2°)2$\textrm\Bigsum_{i=3}^{+\infty}(i-1)q^{2i-3}
= 2$\textrm q\Bigsum_{i=3}^{+\infty}(i-1)(q^{2})^{i-2} = q[\frac{1}{(1-q^2)^2} - 1]

3°)2$\textrm\Bigsum_{i=3}^{+\infty}q^{i-1} = \frac{q^2}{1-q}

1°) - 2°) + 3°) me donne :

\fbox{2$\textrm P(W < Z) = (\frac{q}{1+q})^2}.

Sous toute réserve !
Cordialement RR.

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 27-07-06 à 10:48

Bonjour.
Pour étudier la loi de U = Max(X,Y), j'utilise un repère où (X,Y) représente un couple de coordonnées, X = 1, 2, ... , k et Y = 1,2, ... , k.
L'événement U k est matérialisé par les points situés dans un carré.
En calculant la somme des probabilités dans ce carré, (colonne par colonne par exemple), je trouve :

\fbox{2$\textrm P(U\le k) = (1 - q^k)^2}.

Stokastik : tu donnes dans ton dernier message une autre piste pour P(W < Z). Je vais regarder ce que cela donne.

Cordialement RR.

Posté par bret (invité)re : Probabilités 27-07-06 à 11:05

salut à tous,

sinon une autre méthode qui marche pour ceux qui aiment la convolution :
on calcule la loi de Z-W puis

P(W<Z)=P(Z-W>0)

sauf erreurs ,

bret

Posté par
stokastikre : Probabilités 27-07-06 à 11:20

raymond, ce qu'a fait Yvaine pour max(X,Y) semble très bien non ?

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 27-07-06 à 11:22

Bonjour bret.
As-tu trouvé par ta méthode la loi de Z - W ?
J'ai tenté le coup et j'obtiens :

2$\textrm P(Z - W = k) = pq^{k+1}, k\ge-1 .
Qui peut confirmer ?
Cordialement RR.

Posté par
stokastikre : Probabilités 27-07-06 à 11:47


? Je ne vois pas pourquoi Z-W ne prendrait que des valeurs plus grandes que -1 ??

Posté par
raymond Correcteurre : Probabilités 27-07-06 à 14:35

Stokastik.
Désolé d'avoir abandonné quelques heures.

1°) Yvaine a une excellente méthode pour U, simplement, à la fin de son calcul, il doit y avoir une erreur. En remplaçant 1 - p par q, cela donne :

3$\textrm p^2 (\frac{1 - q^k}{1 - q})^2 = (1 - q^k)^2

2°) Tout-à-fait d'accord avec toi, Z - W prend toute valeur dans . Je me suis précipité sur la méthode de bret un peu trop vite.
En fait, mes calculs pour évaluer P(W < Z) sont assez pénibles et j'aurais aimé trouver une autre méthode pour les confirmer. Celle de bret me paraissait idéale.

3°) Dans ton message du 26 à 23h30 tu as proposé une méthode élégante. Peux-tu la concrétiser ?

Cordialement RR.

Posté par
stokastikre : Probabilités 28-07-06 à 13:07

Citation :
3°) Dans ton message du 26 à 23h30 tu as proposé une méthode élégante. Peux-tu la concrétiser ?


Non désolé aucune envie de faire des calculs.

Posté par Yvaine (invité)Merci 28-07-06 à 20:10

Merci beaucoup pour toutes ses réponses cela m'a bien aidé même si j'ai un peu de mal avec toutes les étapes de p(WZ), certains calculs sont un peu compliqués malgré tout je patauge moins!
Pour p(W=k) je me suis trompée parce que je n'ai pas fait de somme. Je me suis trop précipitée et j'ai commencé avec p(W=k)=p(X=iY=k-i) j'ai voulu aller trop vite!
Merci pour la rectification!
Merci beaucoup à tout le monde je m'y remet pour bien potasser vos conseils et arriver au bout de cet exercice!
Bonne soirée!


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