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probabilités

Posté par Yvaine (invité) 27-08-06 à 18:19

Bonjour à tous j'ai un petit problème sur un exo de probabilités

L'énoncé est le suivant: on jette r jetons dans n boîtes avec n>3 de la façon suivante:
chaque jeton a la même probabilité de tomber dans chacune des boîtes et on suppose que les jetons sont lancés indépendemment les uns des autres

1Soit l'événement Ai "la ième boîte n'a pas reçu de jeton" Il faut calculer P(Ai)
j'ai trouvé P(Ai)=( $1-(1/n))^r$

2 Et après on me demande de calculer E( $N_n$ ) avec $N_n$ le nombre de boîtes avec 0 jeton
Pour m'aider on me dit que l'on peut exprimer $N_n$ en fonction des variables $1_A_i$ avec i allant de 1 à n et où $1_A_i$ prend les valeurs 0 et 1 et vaut 1 si l'événement Ai est réalisé

je trouve $N_n$ = $\sum_{i=1}^n$ $1_A_i$

donc E( $N_n$ )= E( $\sum_{i=1}^n 1_A_i$ )

E( $N_n$ )= $\sum_{i=1}^n$ E( $1_A_i$ )

et je trouve E( $N_n$ )= $\sum_{i=1}^n p(1_A_i)$ car on a affaire à une variable de Bernouilli

ce qui donne E( $N_n$ )= $\sum_{i=1}^n p(A_i)$

donc E( $N_n$ )= n $(1-(1/n)^r$

Ma question est la suivante:
Comment fait-on par contre pour calculer E $((N_n)^2$ )
ou pour calculer la limite quand n tend vers l'infini de E( $N_n$ /n)
je n'arrive plus à calculer l'espérance dans ces cas-là...faut-il s'inspirer de la méthode ci-dessus?je n'arrive plus à me débrouiller avec une somme au carré ou avec un quotient.
Merci de m'éclairer!
Bonne soirée à tous!

Posté par re : probabilités 27-08-06 à 18:30

Bonjour Yvaine

Je suis d'accord avec toi pour les questions 1) et 2).

Sinon pour calculer $\Large{E(N_{n}^{2})}$ , une idée serait de calculer explicitement $\Large{N_{n}^{2}}$ en se souvenant que si A et B sont deux événements, alors $\Large{1_{A}1_{B}=1_{A\bigcap B}}$ .
Pour ta dernière question, n'oublie pas que l'espérance est linéaire, donc tu peux sortir le n de l'espérance.

Kaiser

Posté par Yvaine (invité)re : probabilités 27-08-06 à 20:47

Ah oui merci beaucoup je n'osais pas utiliser la linéarité je ne sais pas pourquoi mais effectivement ça simplifie bien les choses^^Je vous remercie!

Alors j'ai calculé pour m'aider P( $A_i$ $A_j$ ) en fait je ne voyais pas comment faire alors je me suis dit que comme les jetons sont lancés indépendemment les uns des autres on peut peut-être écrire P( $A_i$ $A_j$ )=p( $A_i$ )p( $A_j$ )=( $1-1/n)^2r$
Mais ça me paraissait trop simple...

En tout cas que ce soit juste ou non il faut introduire comme vous me l'avez dit cette intersection dans l'expression de $(N_n)^2$
mais je ne vois pas comment arranger l'expression $(\sum_{i=1}^n 1_A_i)^2$ là est mon souci

Posté par re : probabilités 27-08-06 à 21:08

Effectivement, les événements sont indépendants donc tu peux utiliser la formule pour calculer la probabilité d'une intersection.

Pour la fin, il suffit de développer brutalement :

$\Large{N_{n}^{2}=\bigsum_{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq n}1_{A_{i}}1_{A_{j}}}$ .

Ensuite, il faut découper la somme selon que i et j sont égaux ou différents.

Kaiser

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