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Probabilités

Posté par
eneleh
15-11-20 à 15:37

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice de probabilités. Je vous mets l'énoncé et les questions, je bloque à la question 3.

Une urne contient initialement n boules numérotées depuis 1 jusqu'à n, avec n\geq2. On vide l'urne en extrayant toutes les boules une à une, au hasard et sans remise. On suppose que tous ces tirages de n boules sont équiprobables.
1. Pour i compris entre 1 et n, on note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule obtenue au ième tirage porte le numéro i et 0 dans le cas contraire. Quelle est la loi de Xi ?
2. Soit X le nombre de fois où il y a coïncidence entre le rand gu tirage et le numéro de la boule obtenue lorsque l'on vide l'urne. Exprimer X en fonction des Xi et calculer l'espérance de X.
3. a) Pour 1 \leqi<j\leqn, montrer que la probabilité que le ième tirage porte le numéro i et le jième tirage porte le numéro j est \frac{1}{n(n-1)}.
b)  En déduire la valeur de la covariance cov(Xi,covXj).
c) Montrer que la variance de X vaut 1.

-> Pour la question 3a) j'ai fais la formule des probas totales :
P([X_{i}=i]\bigcap{}[X_{j}=j])=P([X_{i}=i])P_{[X_{i}=i]}(X_{j}=j)=\frac{1}{n}\frac{1}{n-1}
car quand une première boule i est tirée au ième tirage il reste plus que n-1 chance que la boule j soit tirée au jième tirage. Et les tirages sont munis de l'équiprobabilité (précisé dans l'énoncé).
Et pour la 3b) je voulais utiliser la formule de Huygens mais je dois trouver E(XiXj) ce que je n'arrive pas à trouver.

Merci d'avance

Posté par
ty59847
re : Probabilités 15-11-20 à 15:54

Que représente E(XiXj) ? Est-ce que la question 3a) ne donnerait pas quasiment la réponse à cette question ?

En général, il n'y a pas de piège dans les exercices de maths. Quand une question commence par 'En déduire', c'est une application quasiment immédiate de la question précédente.

Posté par
eneleh
re : Probabilités 15-11-20 à 16:00

Euh E(XiXj) représente la moyenne des résultats des probas que le ième tirage porte le numéro i et le jième tirage le numéro j.
J'ai voulu faire un théorème de transfert pour les couples mais je bloque, est-ce que c'est ça qu'il faut faire ? Ou est-ce que c'est plus facile ?
Et pour la 3a), est ce qu'il fallait bien utiliser la formule des probas totales ?

Posté par
ty59847
re : Probabilités 15-11-20 à 16:50

1/(n*(n-1))  pour la question 3a, c'est ok.
E(Xi,Xj) = .... : je n'aime pas trop la phrase que tu as écrite. C'est pas faux, mais c'est bizarrement dit.
Tu ne voulais pas écrire la moyenne des proba ... (et tu avais 100% raison), et donc tu as glissé le mot 'résultat' au milieu. Bof bof.
Je n'ai pas la réponse à l'exercice, mais je suis convaincu que si tu trouves la bonne phrase pour définir ce E(Xi,Xj), tu seras quasiment au résultat.

Posté par
eneleh
re : Probabilités 15-11-20 à 16:52

Je ne vois pas comment expliquer différemment ce que représente E(XiXj)
Je ne vois pas en quoi ça pourrait m'aider de savoir le dire ...

Posté par
eneleh
re : Probabilités 15-11-20 à 17:49

Posté par
Ramig
re : Probabilités 04-05-24 à 11:01

3a, OK, bien répondu

3b : cov(XiXj) = E(Xi-1/n)(Xj-1/n)) car E(Xi ou j) = 1/n (résultat question 1)
d'où
cov(XiXj) = E(XiXj)-(1/n)(E(Xi)+E(Xj)) + 1/n2 = E(XiXj) - 1/n2

Or E(XiXj) = prob(Xi=1 et Xj=1) x 1 + prob(Xi=0 ou Xj=0) x 0 = prob(Xi=1 et Xj=1)

Par ailleurs, prob(Xi=1 et Xj=1) = 1/(n x (n-1)) (résultats question 3a)

D'où cov(XiXj) = 1/(n x (n-1)) - 1/n2 = 1/(n2(n - 1))

3c : Variance(X) = E((X - 1)2) = E(X2) - 2 E(X) +1 = E(X2) - 2 x 1 + 1 = E(X2) - 1

Or E(X2) = E(Xi)2) = E(Xi2 + 2 XiXj) = E(Xi2) + 2 E(XiXj)

Or E(Xi2) = prob(Xi=1) x 12 =  prob(Xi=1) = 1/n (résultat question 1) d'où
E(Xi2) = (1/n) = n x (1/n) = 1

Par ailleurs E(XiXj) = (n x (n - 1)/2) E(XiXj)
car il y a C2n, soit n x (n - 1)/2 doubles produits de variables différentes dans le carré de la somme sur i des variables Xi.

Comme E(XiXj) = 1 / (n(n - 1)) (question 3a), on a E(XiXj) = 1/2 et finalement :
cov(XiXj) = E(Xi2) + 2 E(XiXj) - 1 = 1 + 2 x (1/2) - 1 = 1 CQFD

Posté par
malou Webmaster
re : Probabilités 04-05-24 à 11:58

Bonjour Ramig, et bienvenue

Je n'ai rien contre ta réponse, mais seulement pour te signaler que ce sujet date d'un peu plus de 4 ans (tu as toujours la date des demandes et des réponses)
Peux-tu renseigner ton profil également, nous le demandons à tout le monde
merci à toi

Posté par
Ramig
re : Probabilités 04-05-24 à 14:48

J'y ai répondu en toute connaissance de cause. Je ne pense pas que la réponse à faire ait changé depuis 4 ans Cette réponse n'intéresse peut-être plus celles ou ceux qui ont posé la question mais peut intéresser qqn de curieux tombant par hasard sur ce problème.
Je vais tâcher de renseigner mon profil.

Cordialement.

Posté par
malou Webmaster
re : Probabilités 04-05-24 à 14:54

Citation :
mais peut intéresser qqn de curieux tombant par hasard sur ce problème.


tout à fait
Merci pour le profil

Posté par
Ramig
re : Probabilités 04-05-24 à 16:58

Dans mon intervention se terminant par :
cov(XiXj) = E(Xi2) + 2 E(XiXj) - 1 = 1 + 2 x (1/2) - 1 = 1 CQFD,

il faut lire :
Variance (X) = E(Xi2) + 2 E(XiXj)  - 1 = 1 + 2 x (1/2) - 1 = 1 CQFD, c'est à dire remplacer cov(XiXj) par Variance (X) (erreur de copier-coller, désolé)

Cordialement.



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