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Niveau Maths sup
Probabilités (Arrangement jeu de 52)
Posté par bacoland
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour le calcul mathématique d'une probabilté.
Quelle est la probabilté de ne pas avoir une paire (deux cartes de même valeur qui se suivent) dans un arrangement (tirage complet) d'un jeu de 52 cartes?
merci !
-baco
Le résultat et autour de 4.54%, en utilisant un algo python:
import random
from tqdm import tqdm
lst=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]*4
p=0
N=1000000
def pas_de_valeurs_consecutives_egaux(lst):
precedent = None
for element in lst:
if element == precedent:
return False
precedent = element
return True
for _ in tqdm(range(N)):
random.shuffle(lst)
if pas_de_valeurs_consecutives_egaux(lst):
p=p+1
print(p/N)salut
Option Base 1
Sub jeu_52()
Dim t As Variant
Dim u() As Variant
Dim i, j, d As Integer
Dim cpt As Integer
Randomize
q = 0
e = 0
Do
e = e + 1
ReDim u(1 To 1)
n = 1
cpt = 0
ReDim t(1 To 4, 1 To 13)
Do
cpt = cpt + 1
recom:
i = 1 + Int(Rnd * UBound(t, 1)) 'lignes
j = 1 + Int(Rnd * UBound(t, 2)) 'colonnes
d = 0
For c = 1 To UBound(u)
If u(c) = j & " " & i Then
d = d + 1
End If
Next
If d = 0 Then
ReDim Preserve u(1 To n)
u(n) = j & " " & i
n = n + 1
Else
GoTo recom
End If
Loop Until cpt = 52
'MsgBox Join(u, " ")
s = 0
For i = 1 To UBound(u) - 1
If Split(u(i), " ")(0) = Split(u(i + 1), " ")(0) Then
s = s + 1
End If
Next
If s = 0 Then
q = q + 1
End If
Erase u
Loop Until e = 10000
MsgBox q / e 'retourne 0,0436
End Subje confirme le resultat obtenu
Bonjour,
L'énoncé me semble parfaitement complet. Cette probabilité est certainement calculable : par la force brute, si on est capable de calculer de manière exacte la puissance 52e d'une matrice (très creuse) à coefficients rationnels de taille en gros , avec au plus 13 coefficients non nuls sur chaque ligne.
Bonjour,
cette probabilité est effectivement calculable, elle vaut :
ou en simplifiant :
Mais je ne l'ai pas calculée tout seul ! (voir 
)
Merci pour vos réponses.
L'énoncé est complet puisque l'on est plusieurs à avoir trouvé une probabilité approximative.
Mais j'aimerais une démonstration mathématique pour le calcul de cette probabilité.
Merci!
Sur la page que j'ai indiquée on renvoie à un fichier contenant une démonstration en anglais (mais la démonstration fait huit pages !) :
@bacoland,
Tu postes en maths sup ; j'ai donc pensé à un énoncé d'exercice de ce niveau.
Peux-tu nous préciser le contexte de ton questionnement ?
C'est marrant, en jetant un oeil à la prépublication mise en lien par Jandri, je m'aperçois que j'y suis cité (référence [3]) pour avoir fait le calcul sur les-mathématiques.net en 2014. Je ne m'en souviens pas, et le site est maintenant inaccessible.
A(n,k) est le nombre de façons de ranger un paquet de cartes comprenant 4 cartes indistingables (on ne tient pas compte des coumleurs) pour chacune des n valeurs, avec k doubles (double = deux cartes de même valeur se suivant). On calcule A(n,k) par récurrence sur n.
Code python :
from functools import cache
from math import comb, factorial
def conb(n,k) :
if n<0 : return 0
else : return comb(n,k)
@cache
def A(n,k) :
if n==0 and k==0 : return 1
elif k<0 : return 0
elif k>3*n : return 0
else :
perd4=A(n-1,k+4)*conb(k+4,4)
perd3=A(n-1,k+3)*conb(k+3,3)*(4*n-k-6)
perd2=A(n-1,k+2)*(conb(k+2,2)*conb(4*n-k-5,2)+ 3*conb(k+2,3))
perd1=A(n-1,k+1)*((k+1)*conb(4*n-k-4,3)+3*conb(k+1,2)*(4*n-k-4))
egal=A(n-1,k)*(conb(4*n-k-3,4)+ 3*conb(4*n-k-3,2)*k+ 3*conb(k,2))
gagne1=A(n-1,k-1)*3*(conb(4*n-k-2,3)+(k-1)*(4*n-k-2))
gagne2=A(n-1,k-2)*(3*conb(4*n-k-1,2)+k-2)
gagne3=A(n-1,k-3)*(4*n-k)
return perd4+perd3+perd2+perd1+egal+gagne1+gagne2+gagne3On retrouve bien le nombre de permutations du paquet de cartes sans paire :
A(13,0)*factorial(4)**13On peut même calculer l'espérance du nombre de paires dans une permutation :
total=factorial(52)//factorial(4)**13
sum(i*A(13,i) for i in range(40))/totalJe crois qu'il y a une raison simple pour trouver ce 3 tout rond (indépendamment du nombre de valeurs, d'ailleurs), mais je ne m'en souviens plus.
En fait, c'est tout con pour le 3 : si p est le nombre de valeurs, il y a 4p-1 emplacements possibles pour une paire et pour chaque emplacement la probabilité qu'il y ait là une paire est 3/(4p-1).
bonjour,
je suivais de loin mais j'ai deux questions :
GBZM : je ne comprends pas une chose dans ton script :
tu importes la fonction comb du module math mais ensuite tu en redéfinis une avec le même nom à partir de cette fonction : n'y a-t-il pas un pb ?
GBZM et jandri : je ne vois pas comment ou où vous allez chercher le document donnant la preuve dans le lien de jandri
merci par avance
@carpediem : à la relecture tu verras qu'il y a une différence entre conb et comb : mon conb(n,k) rend 0 si n est négatif tandis que le comb de python retourne une erreur.
Pour l'article il suffit de cliquer sur le lien du message de jandri du 12-09-23 à 19:02
ha damned !! et pourtant j'ai lu attentivement ton script : comme quoi jambe en plus ou en moins fait toute la différence !!
par contre pour le lien oui mais ensuite : faut-il cliquer sur le lien qui précède [math.CO] ?
mais alors il faut un compte ... que je n'ai pas 
en tout cas merci
Si tu regardes attentivement la page de description de l'article, tu verras en haut à droite Download pdf. 