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Niveau Maths sup
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Probabilités (Arrangement jeu de 52)

Posté par
bacoland
11-09-23 à 17:15

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour le calcul mathématique d'une probabilté.
Quelle est la probabilté de ne pas avoir une paire (deux cartes de même valeur qui se suivent) dans un arrangement (tirage complet) d'un jeu de 52 cartes?
merci !
-baco

Le résultat et autour de 4.54%, en utilisant un algo python:

import random
from tqdm import tqdm
lst=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]*4
p=0
N=1000000

def pas_de_valeurs_consecutives_egaux(lst):
    precedent = None
    for element in lst:
        if element == precedent:
            return False
        precedent = element
    return True
    
for _ in tqdm(range(N)):
    random.shuffle(lst)
    if pas_de_valeurs_consecutives_egaux(lst):
        p=p+1
print(p/N)

Posté par
flight
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 12:42

salut


Option Base 1
Sub jeu_52()
Dim t As Variant
Dim u() As Variant
Dim i, j, d As Integer
Dim cpt As Integer
Randomize

q = 0

e = 0
Do
e = e + 1



ReDim u(1 To 1)
n = 1
cpt = 0
ReDim t(1 To 4, 1 To 13)

 
 
 Do
 cpt = cpt + 1
recom:
  i = 1 + Int(Rnd * UBound(t, 1)) 'lignes
  j = 1 + Int(Rnd * UBound(t, 2)) 'colonnes
  d = 0
     For c = 1 To UBound(u)
       If u(c) = j & " " & i Then
         d = d + 1
       End If
     Next
      If d = 0 Then
        ReDim Preserve u(1 To n)
           u(n) = j & " " & i
           n = n + 1
            Else
           GoTo recom
      End If
      
 Loop Until cpt = 52
    'MsgBox Join(u, "  ")
    s = 0
     For i = 1 To UBound(u) - 1
      If Split(u(i), " ")(0) = Split(u(i + 1), " ")(0) Then
       s = s + 1
      End If
     Next
 If s = 0 Then
   q = q + 1
 End If
 Erase u
 
Loop Until e = 10000


MsgBox q / e 'retourne  0,0436



End Sub


je confirme le resultat obtenu

Posté par
lionel52
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 12:52

Hello, tu es sûr que la probabilité est calculable?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 13:51

Bonjour à tous,
@bacoland,
L'énoncé est-il complet ?

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 14:40

Bonjour,
L'énoncé me semble parfaitement complet. Cette probabilité est certainement calculable : par la force brute, si on est capable de calculer de manière exacte la puissance 52e d'une matrice (très creuse) à coefficients rationnels de taille en gros 4\times 5^{13}, avec au plus 13 coefficients non nuls sur chaque ligne.

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 15:38

Bonjour,

cette probabilité est effectivement calculable, elle vaut :

\dfrac{3668033946384704437729512814619767610579526911188666362431432294400}{52!}

ou en simplifiant :

\dfrac{672058204939482014438623912695190927357}{14778213400262135041705388361938994140625}\approx 0.04547628233

Mais je ne l'ai pas calculée tout seul ! (voir )

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 16:48

L'énoncé aurait pu donner une piste.
Ou préciser sous quelle forme donner le résultat

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 16:59

Ce n'est sûrement pas un exercice !

Posté par
bacoland
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 18:53

Merci pour vos réponses.
L'énoncé est complet puisque l'on est plusieurs à avoir trouvé une probabilité approximative.
Mais j'aimerais une démonstration mathématique pour le calcul de cette probabilité.
Merci!

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 19:02

Sur la page que j'ai indiquée on renvoie à un fichier contenant une démonstration en anglais (mais la démonstration fait huit pages !) :

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 19:21

@bacoland,
Tu postes en maths sup ; j'ai donc pensé à un énoncé d'exercice de ce niveau.
Peux-tu nous préciser le contexte de ton questionnement ?

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 21:54

C'est marrant, en jetant un oeil à la prépublication mise en lien par Jandri, je m'aperçois que j'y suis cité (référence [3]) pour avoir fait le calcul sur les-mathématiques.net en 2014. Je ne m'en souviens pas, et le site est maintenant inaccessible.

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 12-09-23 à 22:52

Pas grave, j'ai retrouvé ma feuille SageMaths et la façon de faire le calcul.  

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 09:09

A(n,k) est le nombre de façons de ranger un paquet de cartes comprenant 4 cartes indistingables (on ne tient pas compte des coumleurs) pour chacune des n valeurs, avec k doubles (double = deux cartes de même valeur se suivant). On calcule A(n,k) par récurrence sur n.
Code python :

from functools import cache
from math import comb, factorial

def conb(n,k) :
    if n<0 : return 0
    else : return comb(n,k)

@cache
def A(n,k) :
    if n==0 and k==0 : return 1
    elif k<0 : return 0
    elif k>3*n : return 0
    else :
        perd4=A(n-1,k+4)*conb(k+4,4)
        perd3=A(n-1,k+3)*conb(k+3,3)*(4*n-k-6)
        perd2=A(n-1,k+2)*(conb(k+2,2)*conb(4*n-k-5,2)+ 3*conb(k+2,3))
        perd1=A(n-1,k+1)*((k+1)*conb(4*n-k-4,3)+3*conb(k+1,2)*(4*n-k-4))
        egal=A(n-1,k)*(conb(4*n-k-3,4)+ 3*conb(4*n-k-3,2)*k+ 3*conb(k,2))
        gagne1=A(n-1,k-1)*3*(conb(4*n-k-2,3)+(k-1)*(4*n-k-2))
        gagne2=A(n-1,k-2)*(3*conb(4*n-k-1,2)+k-2)
        gagne3=A(n-1,k-3)*(4*n-k)
        return perd4+perd3+perd2+perd1+egal+gagne1+gagne2+gagne3

On retrouve bien le nombre de permutations du paquet de cartes sans paire :

A(13,0)*factorial(4)**13
3668033946384704437729512814619767610579526911188666362431432294400

On peut même calculer l'espérance du nombre de paires dans une permutation :

total=factorial(52)//factorial(4)**13
sum(i*A(13,i) for i in range(40))/total
3.0

Je crois qu'il y a une raison simple pour trouver ce 3 tout rond (indépendamment du nombre de valeurs, d'ailleurs), mais je ne m'en souviens plus.

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 10:10

En fait, c'est tout con pour le 3 : si p est le nombre de valeurs, il y a 4p-1 emplacements possibles pour une paire et pour chaque emplacement la probabilité qu'il y ait là une paire est 3/(4p-1).

Posté par
carpediem
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 10:18

bonjour,

je suivais de loin mais j'ai deux questions :

GBZM : je ne comprends pas une chose dans ton script :

tu importes la fonction comb du module math mais ensuite tu en redéfinis une avec le même nom à partir de cette fonction : n'y a-t-il pas un pb ?

GBZM et jandri : je ne vois pas comment ou où vous allez chercher le document donnant la preuve dans le lien de jandri

merci par avance

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 10:33

@carpediem : à la relecture tu verras qu'il y a une différence entre conb et comb : mon conb(n,k) rend 0 si n est négatif tandis que le comb de python retourne une erreur.
Pour l'article il suffit de cliquer sur le lien du message de jandri du 12-09-23 à 19:02

Posté par
carpediem
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 11:06

ha damned !! et pourtant j'ai lu attentivement ton script : comme quoi jambe en plus ou en moins fait toute la différence !!

par contre pour le lien oui mais ensuite : faut-il cliquer sur le lien qui précède [math.CO] ?

mais alors il faut un compte ... que je n'ai pas

en tout cas merci

Posté par
GBZM
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 11:44

Si tu regardes attentivement la page de description de l'article, tu verras en haut à droite Download pdf.  

Posté par
carpediem
re : Probabilités (Arrangement jeu de 52) 13-09-23 à 11:58

merci beaucoup

très intéressant mais à regarder très en détail d'autant plus quand c'est en anglais !! (et que c'est pas évident )



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