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Probabilités au jeu de tarot

Posté par
vinc76
31-10-23 à 10:53

Bonjour à tous ,

Je viens créer ce sujet car j'aimerai avoir de l'aide concernant un calcul de probabilités au tarot. Joueur régulier de tarot , je souhaite améliorer mon jeu.

Le problème est le suivant :

Nous jouons au tarot à 4. Je voudrais calculer la probabilité que mon roi passe au premier tour de la couleur ainsi que le roi et la dame en fonction du nombre de cartes que je possède dans cette couleur.

J'ai essayé différents calculs mais mon résultat est faux car j'ai vérifié avec un site qui donne ce genre de statistiques. Cependant ,  Je veux trouver moi meme comment on calcule ces probabilités afin que je puisse l'adapter pour le tarot à  5 joueurs par exemple.

Voici mon raisonnement avec un exemple :

Dans un tarot à 4 , Admettons que je souhaite calculer la probabilité que mon roi passe si j'ai 1 carte de la couleur seulement (roi sec ) lorsque je suis le preneur. Je vais passer par l'évènement contraire.
Tout d'abord je calcule le nombre de cartes restantes à la défense : 78-24 = 54 cartes
Ainsi que le nombre de cartes restantes dans la couleur : 14-1=13
Pour qu'un défenseur n'ait aucune carte de la couleur il faut que sa main contienne 0 parmi 13 * 18 parmi 41 que je divise par le nombre de mains de 54 cartes , c'est à dire 18 parmi 54.
Ce qui donne 13C0*41C18/54C18 = 0.00208
Or nous avons 3 défenseurs , donc les probabilités s'additionnent ce qui fait 0.00208*3 =0.00625

En suivant cette théorie  , j'ai 1-0.00625= 99.375 % que le roi passe au premier tour si j'ai le roi sec mais le problème est que la probabilité correcte est 98.5 % et je ne comprends pas pourquoi car mon raisonnement en théorie me parait pas trop mal.

Merci si quelqu'un peut éclairer ma lanterne.

A bientot.

Posté par
carpediem
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 11:21

salut

il peut y avoir aussi deux défenseurs qui n'aient aucune carte dans la couleur ...

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 13:21

carpediem @ 31-10-2023 à 11:21

salut

il peut y avoir aussi deux défenseurs qui n'aient aucune carte dans la couleur ...

.
D'accord je le sais , mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider.

Posté par
carpediem
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 13:52

tu possèdes le roi uniquement :

il reste alors 13 cartes à répartir et il y a deux cas :

un seul n'en possède pas (les 13 cartes sont réparties entre les deux autres)
deux n'en possèdent pas (les 13 cartes sont toutes dans la main du dernier)

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 15:01

carpediem @ 31-10-2023 à 13:52

tu possèdes le roi uniquement :

il reste alors 13 cartes à répartir et il y a deux cas :

un seul n'en possède pas (les 13 cartes sont réparties entre les deux autres)
deux n'en possèdent pas (les 13 cartes sont toutes dans la main du dernier)


Merci de ta réponse , oui en Français je le comprends bien mais je n'arrive pas à traduire cela mathématiquement.
Il y a plein de possibilités le 1er a 0 sur les 13 et le second 1 et le dernier 12 etc etc
Comment peut on simplifier tout ça ?

Posté par
carpediem
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 15:22

il y a une "relative symétrie" entre les adversaires :

notons A, B et C les adversaires ; alors il y a deux cas :

X n'a pas de C (supposons que la couleur est cœur) alors X € {A, B, C} donc trois choix et les deux autres se les répartissent avec au moins une carte chacun

X a toutes la couleurs et les deux autres n'ont rien : il y a à nouveau trois choix

ensuite il faut répartir le reste des cartes bien sûr

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 15:41

carpediem @ 31-10-2023 à 15:22

il y a une "relative symétrie" entre les adversaires :

notons A, B et C les adversaires ; alors il y a deux cas :

X n'a pas de C (supposons que la couleur est cœur) alors X € {A, B, C} donc trois choix et les deux autres se les répartissent avec au moins une carte chacun

X a toutes la couleurs et les deux autres n'ont rien : il y a à nouveau trois choix

ensuite il faut répartir le reste des cartes bien sûr


Je comprends ni tes notations , ni ton raisonnement , c'est pas grave tant pis.

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 17:39

Bonsoir,
j'ai l'impression que tu es mal parti.
Ce qui nous intéresse ici est la répartition de  13 cartes entre 3 joueurs.
A priori il y a 313 possibilités ( nombre d'applications d'un ensemble à 13 éléments dans un ensemble à 3 éléments : on associe à chaque carte le joueur qui l'a en main ).
Pour avoir une coupe franche il faut qu'un joueur au moins n'ai pas cette couleur. On choisi ce joueur, 3 possibilités, et on réparti les 13 cartes entre les 2 restants ce qui fait 213 possibilités. Ce faisant on compte deux fois les cas où 2 joueurs on une coupe franche. Il y a donc 3(213-1) possibilités avec au moins une coupe franche.
On en déduit que la probabilité pour que le roi sec passe est : 1-\dfrac{2^{13}-1}{3^{13}}\simeq 98,\!46\%

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 17:40

Mes excuses pour l'orthographe

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 17:57

verdurin @ 31-10-2023 à 17:39

Bonsoir,
j'ai l'impression que tu es mal parti.
Ce qui nous intéresse ici est la répartition de  13 cartes entre 3 joueurs.
A priori il y a 313 possibilités ( nombre d'applications d'un ensemble à 13 éléments dans un ensemble à 3 éléments : on associe à chaque carte le joueur qui l'a en main ).
Pour avoir une coupe franche il faut qu'un joueur au moins n'ai pas cette couleur. On choisi ce joueur, 3 possibilités, et on réparti les 13 cartes entre les 2 restants ce qui fait 213 possibilités. Ce faisant on compte deux fois les cas où 2 joueurs on une coupe franche. Il y a donc 3(213-1) possibilités avec au moins une coupe franche.
On en déduit que la probabilité pour que le roi sec passe est : 1-\dfrac{2^{13}-1}{3^{13}}\simeq 98,\!46\%



Merci beaucoup ça m'a bien aidé !
Par contre petite question bonus , as tu un lien par hasard pour rebosser ces notions d'ensembles , bien que je vais réussir à faire du "mimétisme " d'application de  ta formule j'aimerai comprendre vraiment la mécanique et le total des possibilités etc est encore floue pour moi , j'ai quitté les études il y a longtemps.

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 18:33

verdurin @ 31-10-2023 à 17:39

Bonsoir,
j'ai l'impression que tu es mal parti.
Ce qui nous intéresse ici est la répartition de  13 cartes entre 3 joueurs.
A priori il y a 313 possibilités ( nombre d'applications d'un ensemble à 13 éléments dans un ensemble à 3 éléments : on associe à chaque carte le joueur qui l'a en main ).
Pour avoir une coupe franche il faut qu'un joueur au moins n'ai pas cette couleur. On choisi ce joueur, 3 possibilités, et on réparti les 13 cartes entre les 2 restants ce qui fait 213 possibilités. Ce faisant on compte deux fois les cas où 2 joueurs on une coupe franche. Il y a donc 3(213-1) possibilités avec au moins une coupe franche.
On en déduit que la probabilité pour que le roi sec passe est : 1-\dfrac{2^{13}-1}{3^{13}}\simeq 98,\!46\%


Et du coup quand on souhaite calculer la proba que le roi et la dame passe , quel raisonnement tenir pour la dame ? je me suis dis  que j'ai seulement les deux cartes de la couleur , une fois le roi est passé  , il ya encore 9 cartes de la couleur en jeu il nous reste ainsi  3^9 possibilités. En écartant un joueur et en répartissant les 9 cartes entre les deux derniers = 1-(3*(2^9-1)/3^9 * 0.984 = 0.9073

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 18:57

Ici tu calcules une probabilité conditionnelle, mais tu as aussi vu les cartes jouées par tes adversaires : si tu as ramassé le cavalier ou même le valet au premier pli ça change les probabilités.

Si tu veux des probabilités a priori il faut calculer la probabilité pour qu'au moins un des autres joueurs ait un singleton ou une coupe franche. Ça devient plus compliqué, mais encore faisable à la main.

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 19:08

verdurin @ 31-10-2023 à 18:57

Ici tu calcules une probabilité conditionnelle, mais tu as aussi vu les cartes jouées par tes adversaires : si tu as ramassé le cavalier ou même le valet au premier pli ça change les probabilités.

Si tu veux des probabilités a priori il faut calculer la probabilité pour qu'au moins un des autres joueurs ait un singleton ou une coupe franche. Ça devient plus compliqué, mais encore faisable à la main.


Le singleton a bien une probabilté de 1.16 % ?

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 20:24

Et quid de la répartition des atouts , par exemple si je veux calculer la probabilité d'avoir la répartition 4 atouts pour l'adversaire 1 , 4 atouts pour l'adversaire 2 et 4 atouts pour le dernier adversaire sachant que j'ai 10 atouts dans mon jeu ?

Posté par
carpediem
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 20:49

merci verdurin d'avoir mieux explicité ce que je disais

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 31-10-23 à 21:27

vinc76 @ 31-10-2023 à 19:08

Le singleton a bien une probabilté de 1.16 % ?
Je ne vois pas de quoi tu parles.
Disons que tu as roi et dame secs.
Pour que les deux passent tu dois exclure les répartitions du type (12;0;0) ; (x,12-x,0) pour les quelles le roi ne passe pas puis les répartitions du type (x,11-x,1) avec x>0 pour les quelles la dame ne passe pas.

Pour ta dernière question : si tu as 10 atouts il en reste 11, l'excuse n'est pas vraiment un atout en ce sens que tu ne peux pas faire un pli avec elle.

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 01-11-23 à 21:50

Salut ,

Bon je m'y suis remis aujourd'hui. J'ai un peu avancé mais je trouve que c'est très  difficile à les transformer en calculs , j'aurai au moins besoin de voir une correction pédagogique détaillée pour que je puisse vraiment comprendre la mécanique.
Déjà en repartant de l'exemple du roi et de la dame sec , j'ai 3^12 possibilités car il me manque 12 cartes de cette couleur , ce qui donne 531 441 possibilités , nous avons 3*(2^12-1) d'avoir au moins une coupe franche. Pour les singletons , je sais qu'un joueur a 1 carte de cette couleur et les deux autres se répartissent les  11 cartes restantes donc 3*(2^11-1 ) j'aditionne l'ensemble des possibilités favorables que je divise par nos 531 441 possibiliés totales. La probabilité obtenue n'est toujours pas correcte.
Je me dis que d'une façon ou d'une autre je ne tiens pas compte de la différence de répartition qu'il pourrait y avoir entre par exemple (5;6;1) et (2;9;1) mais je n'arrive pas à calculer ces probabilités particulières et meme je ne comprendrai pas si c'est le cas pourquoi le  seul calcul 3*(2^12-1) fonctionnerait pour les coupes franches mais pas 3*(2^11-1) pour les singletons.

Bref , je suis un peu perdu.

Merci à vous en tout cas de participer à mon sujet.

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 01-11-23 à 22:46

On peut compter les donnes avec au moins un singleton et pas de coupe franche comme indiqué dans mon message précédant.

Il y a 3 fois des répartitions du type (1;1;10), 3 cas pour le joueur qui a 10 cartes de la couleur.  Une fois choisi ce joueur on a 1211 possibilités de répartitions.

On considère ensuite les répartitions du type (1;x;11-x).
Le joueur ayant un singleton étant fixé il y en a 12211. On retire les 2 cas où il y a a une coupe franche ( x=0 ou x=11) et on remarque que le cas (1;1;10) est compté deux fois. Il y a donc 3(12(211-2)-1211) possibilités pour au moins un singleton sans coupe franche.

La probabilité a priori pour que roi et dame passent est donc : 1-\dfrac{3\times 12\times (2^{11}-13)}{3^{12}}-\dfrac{3\times(2^{11}-1)}{3^{12}}\simeq85\%

Sauf erreur de ma part.

Posté par
vinc76
re : Probabilités au jeu de tarot 02-11-23 à 00:47

Je comprends rien du tout désolé, je m'énerve dessus depuis deux jours.
Je vais laisser tomber je pense.
Déjà d'ou sort les 12*11 possibilités de répartition ?  Il y a qu'une trentaine de possibilités à la louche , par exemple on fixe que le joueur 1 a un singleton il n'y a que :

( 1;1;10)
(1;10;1)
( 10 ;1 ;1)
(1;2;9)
(1;9;2)
(1;3;8)
(1;8;3)
(1;4;7)
(1;7;4)
(1;5;6)
(1;6;5)

on multiplie toutes les possibilités sans 10 par 3 ça fait 8*3+3 = 27 possibilités de répartition et pas 12*11 !
Pourquoi après on repasse de 12 *11 à 12*2^11 par magie ? Et pourquoi 12 fois sio on enlève un joueur il reste bien 2 joueurs à qui on répartit 11 cartes donc 2^11 tout court pourquoi 12* ce nombre ?
Le reste m'échappe encore plus.

Désolé bonne soirée à vous.

Posté par
verdurin
re : Probabilités au jeu de tarot 02-11-23 à 09:50

Pour donner un exemple, je considère la répartition 1;2;9 dans l'ordre du jeu à partir de toi.
On donne une carte de la couleur au joueur suivant : il y a bien 12 possibilités puisqu'il reste 12 cartes et qu'il faut en choisir une.
On donne 2 cartes au suivant : il faut les choisir parmi les 11 cartes restantes ce qui fait (1110)/2 possibilités.
Enfin on donne les 9 cartes restantes au dernier : il faut choisir 9 cartes parmi 9 ce qui fait 1 possibilité.
Il y a donc 121110/2 donnes avec cette répartition ordonné.

Si on regarde le type de cette répartition on  multiplie par 6 : on peut avoir 1;2;9 ou 1;9;2 ou 2;1;9 ou 2;9;1 ou 9;1;2 ou 9;2;1.

La probabilité d'avoir une répartition du type (1;2;9) est donc 1980/3120,003725719

De façon générale et en considérant les distributions ordonnées il y a 12\times \binom{11}{x} répartitions 1;x;11-x

Posté par
osberc
re : Probabilités au jeu de tarot 09-02-24 à 09:54

vinc76vinc76

vinc76 @ 31-10-2023 à 10:53

Bonjour à tous ,
Tu signales que   la probabilité correcte est 98.5 % .  Mais je ne  pense pas .   La probabilité   correcte est plus  proche de tes  99.375 %.  (  car meme si tu as omis la probabilité  que 2 joueurs puissent ne pas  avoir de coeur ,  ce n'est pas bien  grave car cette derniere probabilité  est négligeable par rapport à tes 99,375 %). Pour info  une simulation sur 5000000 de parties donne un 99,38%  donc tres proche de ta valeur initiale



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