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Probabilités discrètes

Posté par
azerty_007 24-08-10 à 22:16

Bonjour, j'arrive a comprendre l'exercice, mais je me retrouve vite coincé j'ai essayé en posant différent système complet d'évènements mais sans succès.. J'ai essayé avec bayer, et les probas totales ainsi que la formule de la chaine

Voici l'énoncé.

Le 14 juillet, à st laurent, il fait beau huit fois sur dix. Le comité des fêtes dispose de deux sources de prévision météo INDEPENDANTES:
-la meteo nationale qui se trompe deux fois sur cent
-une grenouille verte qui se trompe une fois sur vingt
La meteo annonce de la pluie alors que le comportement de la grenouille laisse prévoir du beau temps. Determiner la probabilité qu'il  fasse beau. En déduire le temps le plus probable.
(la fiabilité des prévisions ne dépend pas du temps qu'il fera effectivement)

Posté par
avomggre : Probabilités discrètes 24-08-10 à 23:19

dessine un arbre en prenant chacun des paramètres à la suite :
paramètres :
0 : il fait beau ou pas
1 : ce que dit la grenouille
2 : dit elle la vérité
3 : ce que dit la meteo dit
4 : dit-elle la vérité

Posté par
avomggre : Probabilités discrètes 24-08-10 à 23:22

erreur dans les paramètres :
0 : la meteo effective
1 : ce que la grenouille dit
2 : ce que la meteo dit
1 et 2 sont bien entendu commutatifs

Posté par
azerty_007re : Probabilités discrètes 24-08-10 à 23:47

j'ai fait mon arbre mais je vois pas trop au cela nous mène disons que c'est dans le developpement de la formule de Bayes ou autre que ça bloque.

Posté par
azerty_007re : Probabilités discrètes 25-08-10 à 00:10

enfait je crois que je comprends mal ce que veut dire la fiabilité des prévisions ne dépend pas du temps qu'il fera effectivement

Posté par
borneore : Probabilités discrètes 25-08-10 à 02:08

Bonjour,

Citation :
enfait je crois que je comprends mal ce que veut dire la fiabilité des prévisions ne dépend pas du temps qu'il fera effectivement


La météo se trompe 2 fois sur 100, qu'il fasse beau ou non.

On appelle B : il fait beau

et E : la grenouille prévoit du beau temps ET la météo prévoit du mauvais temps.

On cherche P(B/E) = P(B inter E)/P(E)

P(B inter E) = P(E/B)P(B)

P(E) = P(E/B)P(B) + P(E/Bbar)P(Bbar)

Voilà  

Posté par
verdurinre : Probabilités discrètes 25-08-10 à 03:16

Bonjour.

On cherche la probabilité qu'il fasse beau.

Soit B l'événement il fera beau, M la prévision de la météo est exacte et G la prévision de la grenouille est exacte.

On sait que A= (M\cap \bar G) \cup (\bar M \cap G) est vrai.

Le problème est de déterminer la probabilité de B sachant A.

\text{P}(B|A)=\frac{\text{P}(A\cap B)}{\text{P}(A)}

Or
\text{P}(A)=\text{P}\left(B\cap M\cap \bar G\right)+ \text{P}\left(B\cap \bar M\cap G\right) + \text{P}\left(\bar B\cap \bar M\cap G\right)+\text{P}\left(\bar B\cap M\cap \bar G\right)=0,8\times 0,98 \times 0,05+ 0,8\times 0,02\times 0,95+0,2\times 0,98\times 0,05+0,2\times 0,02\times 0,95
pour cause d'indépendance
et
\text{P}(A\cap B)=\text{P}\left(B\cap M\cap \bar G\right)+ \text{P}\left(B\cap \bar M\cap G\right)=0,8\times 0,98 \times 0,05+ 0,8\times 0,02\times 0,95

Je te laisse faire le calcul ...

Posté par
verdurinre : Probabilités discrètes 25-08-10 à 03:20

Au passage, il ne s'agit pas de probabilités discrètes.

Posté par
plumemeteorere : Probabilités discrètes 25-08-10 à 10:00

Bonjour.
probabilité qu'il y ait effectivement beau temps et donc que la météo se trompe et que la grenouille ait raison : 0,8*0.02*0.95 = 0.0152
probabilité qu'il y ait effectivement de la pluie et donc que la météo ait raison et que la grenouille se trompe : 0.2*0.98*0.05 = 0.0098
probabilité de se retrouver dans la situation de l'énoncé : 0.0152+0.0098 = 0.0250
probabilité qu'il fasse beau temps : 0.0152/0.0250 = 60.8%

Posté par
borneore : Probabilités discrètes 25-08-10 à 10:54

Je vous mets l'arbre

Probabilités discrètes

Posté par
borneore : Probabilités discrètes 25-08-10 à 11:10

Je reprends les calculs en les laissant sous forme fractionnaire :

P(E) = P(GB inter MBbar) = 8/10 * 19*20 * 2/100  + 2/10 * 1/20 * 98/100 = 152/10000 + 98/10000 = 250/10000 = 25/1000

P(B inter E) = 8/10 * 19*20 * 2/100 = 152/10000

Ensuite, je cherche P(B/E) = P(B inter E)/P(E)

= (152/10000)/(25/1000) = 152/250

C'est ce qu'a trouvé Plumemeteore  


Comme c'est > 1/2 le temps le plus probable est le beau temps.

Étonnant, quand on sait que la grenouille, qui l'avait prévu, se trompe plus souvent que la météo. Moins étonnant, quand on sait que le temps le plus probable ce jour-là est du beau temps.

Cet exo me rappelle fortement une énigme récente qui a fait couler beaucoup d'encre...  

Posté par
azerty_007re : Probabilités discrètes 25-08-10 à 11:45

Le P(E/B) se lit la probabilité que la grenouille prévoit du beau temps et la météo de la pluie sachant qu'il va faire beau?

Posté par
borneore : Probabilités discrètes 25-08-10 à 12:08

Oui, c'est la 2e branche sur l'arbre à partir du haut : B inter GB inter MBbar

Je t'ai mis l'arbre, car je trouve plus simple de calculer les probas en suivant les branches plutôt qu'avec les formules  


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