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Probabilités et Cercles

Posté par
vander1
04-02-24 à 01:53

Bonjour à tout le monde.
J'ai cet exercice de probabilité que je bloque là-dessus depuis un certain temps.
Voici l'énoncé

L'île Qalito, située sur le continent Essos, a une forme circulaire de rayon R= 45km. Ce territoire abrite des prisonniers, dont Alice. Cette dernière désire s'enfuir à tout prix. Pour ce faire, elle doit d'abord arriver au bord de l'île, qui est protégé par la garde Mellony. Ensuite, elle doit être accompagnée par Bob qui se trouve à l'extérieur de l'île et qui l'aidera à prendre la fuite sur son bateau. Les positions initiales d'Alice, Bob et Mellony sont représentées ci-dessous, aux points A, B et M respectivement. Initialement, Alice se trouve sur un point aléatoire du segment CP et se dirige vers le point P (point de rencontre avec Bob) à une vitesse constante de module aléatoire inférieur à V= 2,39 km/h. Bob, initialement au point B situé à une distance S=605 km, se dirige vers P à une vitesse constante de module égal à U=38 km/h. Finalement, la garde Mellony, initialement au point M, marche sur le bord de l'île à une vitesse constante de module aléatoire inférieur à W=21,49 km/h. Lorsque Alice arrive au point P, elle doit absolument attendre Bob avant de prendre la fuite. Toutefois, elle ne pourra pas s'enfuir si Mellony la croise, plus précisément si la garde et Alice se trouvent au point P simultanément.
J'ai essayé de calculer de calculer la longueur de l'arc L(MP) =2\pi (\theta/360) =\pi R.
Ensuite, je calcule le temps que fait la garde Melony pour arriver au point P à l'aide de : la distance parcourue par cette dernière correspond à la longueur de l'arc calculée précédemment Dist_{parcourue}(Melony)\le W\times t. La position de Alice est donnée par A= (1-t)C+tP, 0\le t\le 1.
La distance parcourue par Bob est S=U\times t.
Je voudrais savoir si mes démarches sont bonnes et comment peut on associer les probabilités ici?


Merci d'avance

Probabilités et Cercles

Posté par
vander1
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 03:11

La question était: Quelle est la probabilité qu'Alice réussisse à quitter l'île sans être capturer par Melony?

Posté par
carpediem
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 10:05

salut

je ne pense pas qu'il y ait des probabilités ici mais on te demande simplement la chance que Alice ne soit pas en même temps que le garde au point P

donc il y a juste à calculer les temps mis par Alice et le garde pour se rendre en P

Posté par
GBZM
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 13:43

Bonjour,
Il y a bien sûr des probabs dans cet exercice. Tu as trous variables aléatoires :
1) la distance L en km entre le point de départ d'Alice et le point P, qui d'après ce que je comprends de l'énoncé a une distribution uniforme dans [0 , 45].
2) la vitesse VA d'Alice en km/h, qui (toujours d'après ce que je comprends) a une distribution uniforme dans [0, 2.39].
3) la vitesse VM de Melony en km/h, avec une distribution uniforme dans [0, 21.49].
Tu dois calculer la probabilité que Alice et Bob arrivent tous les deux en P avant Melony.

Posté par
carpediem
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 17:00

ha oui c'est plus clair comme ça !!

merci GBZM

Posté par
vander1
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 19:03

Merci carpediem et GBZM pour vos retours.
Mais ces distribution dépendent deux temps (vue que je dispose des vitesses et de distances), non?

Merci.

Posté par
GBZM
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 19:12

Que veux-tu dire ? Telle quelle, ta phrase est incompréhensible.
Repère le mot "aléatoire" dans l'énoncé. Il apparaît trois fois, pour les trois variables aléatoires que j'ai indiquées.

Posté par
vander1
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 21:20

Mille excuses.
Je voulais écrire que ces distributions dépendent du temps, non?
Les distributions sont alors L(x) = \frac{x}{45}, 0\le x\le 45 ,  V_A (x) = \frac{x}{2.39}, 0\le x\le 2.39 ,  V_M (x) = \frac{x}{21.49}, 0\le x\le 21.49  et le temps qu'il faut à Bob d'arriver au point P est t_B = S/U.
La probabilité qu'Alice et Bob arrive au même moment serait alors:  V_A (x=t_B) ?

Posté par
vander1
re : Probabilités et Cercles 04-02-24 à 23:03

Bonjour,
Je pense qu'il faut d'abord calculer les temps qu'il faut à nos protagonistes pour arriver au point P. Pour qu'Alice réussisse à échapper à Melony, il faut que son temps pour arriver au point P (t_A )+ le temps d'attente ( [0,  t_B] de Bob soit plus grand que le temps de Melony pour arriver au point P, car cette dernière passera sans qu'Alice n'arrive. Connaissant ce temps, il faut délimiter la zone de ''réussite'' d'Alice sur le segment CP.
Tous les trois se déplacent à une vitesse constante chacun, on peut facilement calculer ces temps comme suit: t_A = \frac{R}{V} 18h et 50 min. ,  t_B = \frac{S}{U} 16 h.  et  t_M = \frac{\pi R}{W} 6h et 35.
Melony passe par le point P une fois sur deux pour un tour complet de l'île, donc une chance sur deux pour capturer Alice. Est ce que cette donnée peut être utilisée?

Posté par
GBZM
re : Probabilités et Cercles 05-02-24 à 08:55

Non, les distributions ne dépendent pas du temps ! Ça n'aurait aucun sens pour la position initiale d'Alice, et il est bien précisé que les vitesses sont constantes en module.
Mais ces modules, pour Alice et pour Melony sont des variables aléatoires uniformément réparties entre 0 et 2.39 km/h et entre 0 et 21.49 km/h respectivement. Tes calculs de temps pour Alice et Melony sont donc erronés, d'autant plus que la distance à parcourir par Alice est elle aussi une variable aléatoire.
La relecture de l'énoncé me fait douter que une fois arrivée en P,  Melony y reste. L'évasion d'Alice pourrait donc être empéchée si et seulement si Alice arrive avant Bob en P et que Melony passe en P pendant le temps d'attente d'Alice.

Le temps d'arrivée de Bob est une constante.
Le temps d'arrivée d'Alice est une variable aléatoire, fonction des variables aléatoires que sont sa vitesse et la distance à parcourir.
Les temps de passage de Melony en P (1er, 2e 3e ... oassages) sont aussi des variables aléatoires, fonctions de sa vitesse uniquement (puisque les distances à parcourir sont fixées, ce sont 1/2, 3/2, 5/2 ... périmètres).

Posté par
vander1
re : Probabilités et Cercles 06-02-24 à 00:33

C'est vrai que Melony ne reste pas au point P.  
Pour que Melony ne retrouve pas Alice au point P, il faut que le temps d'arriver d'Alice soit supérieur à une fois(1/2 périmètre) le temps d'arriver de Melony et inférieur à 3 fois le temps d'arriver de Melony (3/2 périmètre)?

Mes variables aléatoires associées au temps d'arrivé au point P sont donc :

t_A(x) =\frac{R}{V_A} =\frac{2.39R}{x},  0<x\le 2.39
t_M(x) =\frac{ \pi R}{V_A} =\frac{21.49 \pi R}{x},  0<x\le 21.49 ?

Posté par
GBZM
re : Probabilités et Cercles 06-02-24 à 15:42

Tescformules pour les temps d'arrivée ne vont pas du tout. Je peux difficilement en écrire plus pour le moment, réfléchis et reprends ça.



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