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probabilités et n² boules

Posté par
anyone 03-01-08 à 22:07

bonsoir,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice de proba :

Soit n²E N*. On considere n² boules numerotees de 1 a n2. Calculez :
1. La probabilite d'avoir une et une seule boule dont le numero soit un carre en tirant p boules simultanement ?
2. La probabilite d'avoir au moins une boule dont le numero soit un carre en tirant p boules simultanement ?
3. La probabilite qu'en ayant tire deux boules boules simultanement, la difference de leurs numeros soit un carre ?
Indication : on pourra utiliser la formule (de k=0 à n) k²

merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:18

Bonjour,

Que proposes-tu ?
Pour la première question, dis-nous d'abord combien de boules dont le numéro est un carré y a-t-il dans l'urne ?

Nicolas

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:26

euhh.. n-1 c'est possible ? je suis paumé :s

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:30

Qui sont ces (n-1) carrés ?

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:32

non, en fait je ne vois pas

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:35

il y a n boules dont le numéro est un carré

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:35

Tu es en quelle classe ? (pour mieux cibler l'aide)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:36

n boules, c'est juste.
Quel est le numéro sur ces boules ?

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:37

si je prends des boules numérotées de 1 à 9 il y en a 3 dont 3e numéro est un carré (1,4,9) si j'ai bien compris .. non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:39

Donc, au sein des n² boules de l'urne, il y en a n qui portent un numéro "carré". Ces numéros sont 1², 2², 3², ..., (n-1)², n².

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:42

ok mais je ne comprends toujours pas comment en déduire "La probabilite d'avoir une et une seule boule dont le numero soit un carre en tirant p boules simultanement "

merci !!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 22:46

Attends un peu...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 03-01-08 à 23:04

1.

Première approche : On considère, pour le raisonnement, que l'on tire les p boules les unes après les autres. Bien sûr, sans remise (pour que cela soit équivalent à "tirage simultané".

- probabilité d'avoir une unique boule "carrée" : \frac{n}{n^2}
- probabilité d'avoir (p-1) boules NON-"carrées" : \frac{n^2-n}{n^2-1}\times\frac{n^2-n-1}{n^2-2}\times...\times\frac{n^2-n-(p-2)}{n^2-(p-1)}
- et il y a p positions possibles pour la boule "carrée" dans le tirage.

Donc la probabilité cherchée est :
3$\frac{n}{n^2}\times\left(\frac{n^2-n}{n^2-1}\times\frac{n^2-n-1}{n^2-2}\times...\times\frac{n^2-n-(p-2)}{n^2-(p-1)}\right)\times p
3$=n\times\frac{\left(\frac{(n^2-n)!}{(n^2-n-(p-1))!}\right)}{\left(\frac{(n^2)!}{(n^2-p)!}\right)}\times p
3$=n\,\frac{(p-1)!\,{n^2-n\choose p-1}}{p!\,{n^2\choose p}}\,p
3$=\fbox{n\,\frac{{n^2-n\choose p-1}}{{n^2\choose p}}}

Deuxième approche : On considère les mains obtenues de p boules, ordonnées. Il y a équiprobabilité.

Nombre de mains favorables :
- position de la boule carrée : p choix
- nombre possible sur la boule carrée : n choix
- nombres possibles sur les p-1 boules non carrées : (n^2-n)(n^2-n-1)...(n^2-n-(p-2))=\frac{(n^2-n)!}{(n^2-n-(p-1))!}
donc nombre de mains favorables = n\,p\,\frac{(n^2-n)!}{(n^2-n-(p-1))!}=n\,p\,(p-1)!\,{n^2-n\choose p-1}=n\,p!\,{n^2-n\choose p-1}

Nombre de mains possibles : 3$n^2\cdot(n^2-1)\cdot...\cdot(n^2-(p-1))=\frac{(n^2)!}{(n^2-p)!}=p!\,{n^2\choose p}

Donc la probabilité cherchée est :
3$\frac{n\,p!\,{n^2-n\choose p-1}}{p!\,{n^2\choose p}}=\fbox{n\,\frac{{n^2-n\choose p-1}}{{n^2\choose p}}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:50

ok .. et pour la question 2, je ne comprends pas ce que je dois changer .. car c'est au moins une boule ?

merci beaucoup !!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:51

Indice : considère l'évènement contraire.

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:55

il suffit que je fasse 1- le résultat précédent ??

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:56

Non. 1 - la probabilité de l'évènement contraire

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:58

je ne comprends pas ce que vous voulez dire par l'évenement contraire .. dans cette situation ..?

merci

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 05-01-08 à 12:59

c'est la fait de n'avoir aucune boule qui soit un carré ? ou une boule qui ne soit pas un carré ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 05-01-08 à 17:12

Quel est l'évènement contraire de "avoir au moins une boule dont le numéro soit un carré" ? (Ce n'est pas des maths, juste du bon sens.)

Posté par
anyonere : probabilités et n² boules 05-01-08 à 21:43

euhh .. n'en avoir aucune ..?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : probabilités et n² boules 06-01-08 à 09:27

Exact. Quelle est donc la probabilité de n'avoir aucun "carré", c'est-à-dire que les p boules proviennent des n²-n boules non "carrées" ?


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