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Niveau IUT/DUT
Probabilités loi de paréto
Posté par Univ-man
Bonjour , je rencontre de nombreuses difficultés sur cet exercice que je n'arrive meme pas a demarrer...
Je commence :
On dit que X suit une loi de paréto de parametre a>0 et b>0 si elle admet pour densité :
f(x)= 0 si x<a
f(x) = (b/a)(a/x)^(b+1) si x > ou egal à 'a'
1) Verifier que f est bien une densité et determiner la fonction de repartition correspondante.
2)Determiner quand elles existent , l'esperance et variance de x
3)On concidere qu ela loi de repartition des revenus dans un pays developpés est une loi de pareto de parametre b=1.5 / Que represente alors le parametre a ?
L'espérance de X ? La variance de X?
Merci beaucoup.
Bonjour,
1)f est intégrable et positive, et son intégrale sur R vaut 1 (il suffit de faire le calcul), donc c'est une densité.
La fonction de répartition s'obtient en calculant P(X < t) pour t réel, en intégrant f de a à t pour t > a. (si t < a, f(x) vaut 0 pour x < t donc l'intégrale sera aussi nulle).
2)Pour calculer l'espérance, tu calcules l'intégrale sur R de xf(x), pour la variance tu calcules l'intégrale de x²f(x) sur R et tu soustrais le carré de l'espérance.
3) a est le revenu minimum puisque P(X
Super merci mais les a et b me troublent un peu , je vois pas comment integrer ni primitiver...et d'ailleur j'utilise la premiere formule pour x<a ou l'autre?
merci
Je t'en prie.
Pour prouver que la densité a pour intégrale 1, tu dois intégrer ta fonction f sur R.Or pour x < a, f(x) est nulle, donc l'intégrale de moins l'infini jusqu'à a fera 0.
Il reste donc à calculer l'intégrale pour x variant de a à plus l'infini.Pour cela, sors le plus possible de constantes de l'intégrale et ramène-toi au calcul de l'intégrale de entre a et l'infini.
Idem pour la fonction de répartition P(X < t) (la variable est t), elle vaut clairement 0 si t < a.
Il ne reste plus alors qu'à la calculer pour t > a : il s'agit de l'intégrale de a à t de la densité f(x)dx.
J'ai simplifie cela : (b/a)(a/x)^(b+1)
En (b/a)(a*1/x)^(b+1)
= (b*(1/a) * a)*(1/x)^(b+1)
= b * 1/x^(b+1)
Non?
J'ai b*a^b * [1/(-x^b * b)]entre infini et a , l'intégrale est égale a
1+1/(b*a^b) car limite en plus infini c'est 1 .
Donc cela donne : b*a^b * ((1) + (1/( b*a^b ) ) )= b*a^b et pas un . J'ai du rater quelque chose ....
Encore désolé , j'ai encore besoin de ton aide :p
Citation :
J'ai b*a^b * [1/(-x^b * b)]entre infini et a
J'ai b*a^b * [1/(-x^b * b)]entre infini et a
-> Tu veux dire après avoir intégré, dans le crochet en somme? Dans ce cas oui, mais plutôt entre a et l'infini.
De plus on peut simplifier par b.
La limite en l'infini vaut 0 puisque b > 0.On soustrait la valeur en a, qui est a^b.(-1)/a^b, soit -1.
Le crochet vaut donc 0-(-1) = 1, ça marche!
C'est donc tout cette expression : b*a^b * [1/(-x^b * b)]
Qui est entre crochet? Merci de ton aide précieuse , je sais je peux paraître un peu lourd, mais je rencontre de nombreuses difficultés. Je vais essayer pour la fonction de répartition avec tes conseils!
pour la fonction de repartion , j'ai donc [b*a^b*(1/(-x^b * b)]de a à t.
De a , c'est deja calculé , ca fait "-1" , et avec t ca fait b*a^b*(1/(-t^b *b))
Donc P(X<t) avec t>a = b*ab/(-t^b *b) + 1
Non?^^
Oui, c'est juste! 
Par contre, tu peux simplifier cette vilaine expression en , après avoir simplifié la fraction par b puis regroupé les puissances de la fraction obtenue.
Je t'en prie, par contre je vais devoir quitter l'ordinateur, à bientôt et bon courage!