Bnsoir.

Somme des termes d'une suite géométrique de raison k.

A plus RR.

bonjour,
si je note S_N,nla somme tu connais certainement S_N,1 la somme des N premiers entiers,S_N,2la somme de leurs carrés,S_N,3la somme de leurs cubes ensuite c'est plus compliqué cela fait intervenir les nombres de Bernoulli si je ne me trompe pas
tu as besoin de cette somme pour la suite?

Raymond
Somme des termes d'une suite géométrique de raison k.
Il ne s'agit pas de

Veleda
Effectivement je connais les sommes ainsi que leur démonstration respective. Je ne vois pas comment généraliser à ...
J'ai effectivement  besoin de ce calcul sous réserve d'un bon raisonnement en amont :

Il s'agit d'un n-tirage successif de boules avec remise.
J'ai N urnes telles que :
Soit contient j boules blanches et N+1-j noires


En choisissant une urne au hasard, quelle est la probabilité d'obtenir n boules blanches.

je trouve

Je dois donc calculer cela et trouver la limite (en fixant n) de quand N ->

Peut être me suis-je trompé...

Merci beaucoup !!

la probabilité de tirer n boules blanches de l'urne U_k dans les conditions du texte c'est bien
(k/(N+1))ⁿ

le 1/N correspond à la probabilité de choisir cette urne donc c'est bien ça
1/N(de k=1 à N) (k/N+1)ⁿ
pense à une somme de Riemann cela devrait aller
ce n'est pas un vieux problème d'essec?

Bonjour.

Effectivement, j'avais mal lu ton énoncé.

En ce qui concerne la probabilité P_n(N), je trouve le même résultat que toi.

Cette question n'était-elle pas précédée d'une première partie portant sur des polynômes ?

Dois-tu calculer P_n(N) ou simplement(!) chercher sa limite si N tend vers l'infini ?

Encore désolé pour ma mauvaise interprétation de ton énoncé.

A plus RR.

Merci pour vos réponses à tous les deux !

Veleda :
J'ai exploré la piste que tu me proposes et en effet je n'ai pas eu le reflexe d'utiliser la somme de Riemann d'ailleurs je me rend compte que je ne la maîtrise pas du tout :-/


Et





Lorsque

J'ai dû faire une erreur dans ma somme de Riemann.
J'ai voulu tenter avec une autre fonction
Ce qui m'aurait donné

Et







La limite est ici un peu plus complexe par contre et je ne suis toujours pas sûr de la pertinence du résultat ^_^
Je ne peux pas te dire si c'est un vieux ESSEC puisque l'énoncé est manuscrit et que la source n'est pas cité mais étant donné qu'il est présenté sous forme d'exercice, c'est peût être un extrait de ce problème.
Le problème suivant est lui un HEC 2003 (Inertie d'un nuage de points ^_^)

Merci beaucoup !!!



Raymond
Il n'y avait pas de première partie sur les polynômes non, une demonstration d'une propriété classique de combinatoires (Triangle de Pascal) et divers calculs de probabilités classique précédaient cette question.
Je dois à la fois calculer et trouver sa limite afin d'observer le comportement de la probabilité en l'infini. J'y ai réfléchi et je pense qu'il me faudrait trouver 1/2, ce qui me semblerait le plus cohérent/logique parce que je crois distinguer des urnes dont le contenu est "symétrique".

Tu n'as vraiment pas à t'excuser, j'apprécie vraiment votre patience et intérêt pour mon problème.
Merci encore.

oui il y a une erreur,le 1//N c'est le (b-a)/N le pas de la subdivision
f(t)=tⁿ
les points de subdivision sont les x_k=k/N comme on a N+1 au dénominateur on ecrira
(k/N)ⁿ(N/N+1)ⁿ
ce qui donne (N/N+1)ⁿ[1/N_dek=1àNf(x_k)]
quand N->+oo (N/N+1)ⁿ->1 et la somme entre les crochets tend vers l'intégrale de f entre 0 et 1
c'est à vérifier cela donnerait 1/(n+1) ??

si n=1 la probabilité devient(1/N)[1/N+2/N+3/N+........N/N]=(1/N²)(N(N+1)/2->1/2 quand N->+oo

si n=2 la probabilité est égale à N(N+1)(2N+1)/(6N3)->1/3 quand N->+oo

si n=3 la probabilité est égale à N²(N+1)²/4N⁴->1/4 quand N->+oo

la formule "marche" dans les trois cas

Si je reprend ton raisonnement on écrit :


Soit


et je trouve comme toi.

Ca me parait étrange comme limite non ?

Ah oui effectivement, j'hésitais à "essayer" la formule j'avais peur de me confronter à quelque chose de trop étrange.

Ca a l'air cohérent !

Merci Veleda (et Riemann du coup) ^_^

Bonjour veleda.

Ton résultat semble tout à fait correct.

As-tu une idée pour calculer effectivement P_n(N) comme le souhaite hiiragi ?

Personnellement, je ne connais que la méthode utilisant l'endomophisme f de R_n[X] défini par :

f(P)(X) = P(X+1) - P(X).

A plus RR.

attention à l'écriture il faut écrire
quand N->+oo lim P_n(N)=lim(N/N+1)ⁿ₀¹tⁿdt
il faudrait même ne pas écrire tout de suite l'intégrale mais lim(1/N_{k=1 à N}(k/N+1)ⁿ )

bonjour Raymond,
merci d'avoir vérifié mon résultat,je suis tellement étourdie que je me méfie de ce que j'écris
je ne connais pas d'autre methode que celle dont tu parles
j'ai déja fait un problème de sup où l'on exprimait la somme des puissances nièmes des N premiers entiers en faisant intervenir les polynômes de bernoulli mais je ne sais plus trop ce que c'était.
je ne crois pas que l'on puisse mettre P_n(N)sous une autre forme simple dans l'épreuve de
concours à laquelle je pense on demandait d'exprimer la probabilité et de calculer sa limite

Donc, le sujet ne demandait pas d'expliciter P_n(N). C'est rassurant.

Quant-à la question de la limite, il fallait quand même avoir l'idée d'utiliser les sommes de Riemann.

Ces dernières années, j'ai travaillé avec des spé. bio et je ne les imagine pas trouver ce procédé.

A plus RR.