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Probas

Posté par Djeffrey (invité) 29-01-07 à 12:45

Bonjour, j'ai un exercice sur les probabilités et j'ai besoin d'aide pour une partie de cet éxo :

J'ai U et V deux variables aléatoires réelles indépendantes et de loi gaussienne centrée réduite. J'ai montré que \frac{U}{V} suivait la loi de Cauchy de densité \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}.
Je dois ensuite trouver la loi de \frac{U+V}{U-V}. Pour cela j'ai dit que cela revenait à \frac{\frac{U}{V}+1}{\frac{U}{V}-1} et j'utilise ce qui à été fait avant. Je trouve une loi assez proche d'une Cauchy mais qui n'en est pas une, est ce normal ?

Ensuite j'ai X et Y indépendantes suivant une Cauchy:
J'ai trouvé que \frac{1}{X} suivait aussi une Cauchy, mais je n'arrive pas à trouver les lois de \frac{1+XY}{2X} ni de \frac{1+Y}{1-Y}. Je voulais essayer avec les fonctions caracteristiques mais je ne m'en sors pas...

Voila voila si quelqu'un pouvait m'aider la dessus ca serait super sympa, merci a tous...

Posté par Djeffrey (invité)re : Probas 29-01-07 à 20:56

SVP il y a des réponses dans l'heure à chaque nouveau sujet lol, qu'est ce qui cloche avec celui la ??

Posté par
stokastikre : Probas 29-01-07 à 20:59

Il cloche qu'il faut faire un paquet de calculs...

Posté par Djeffrey (invité)re : Probas 29-01-07 à 21:32

je n'ai pas demandé les calculs, mais la méthode...

Posté par
stokastikre : Probas 29-01-07 à 21:39


Ben une méthode c'est ça :

T'as une variable aléatoire Z de la forme Z=w(X,Y), où X et Y sont indépendantes de densités f et g disons (ici f=g)

La densité de Z est une fonction h telle que \mathbb{E}[u(Z)]=\int u(t)h(t)dt pour toute fonction u continue bornée.

Toi tu sais que \mathbb{E}[u(Z)]=\int \int u(w(x,y))f(x)g(y)dxdy, il faut que tu trouves une fonction h pour écrire cette intégrale sous la forme \int u(t)h(t)dt

Mais y'a pas peut-être plus simple

Posté par
stokastikre : Probas 29-01-07 à 21:44


Sinon pour \frac{1+XY}{2X} par exemple, à condition que l'application (x,y)\mapsto (x, \frac{1+xy}{2x}) est une injection tu peux d'abord déterminer la loi du couple (X,\frac{1+XY}{2X}) par un changement de variables (toujours en passant par les intégrales avec les densités).

Mais là j'ai vraiment pas le temps de me lancer là-dedans pour toi.


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