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[probas] encore des probas...

Posté par
vincprof 22-04-07 à 14:21

Bonjour,

j'ai encore un petit souci en probas :


Soient X et Z deux variables aléatoires réelles indépendantes telles que X suit une loi normale N(0,1) et P[Z=1]=P[Z=-1]=1/2. On pose Y=ZX (c'est drole, mais dès que ca parle de changement de varaible, je ne sais plus faire!!)

1) Déterminer la loi de Y sachant que Z=z où z=+1 ou -1.

bon ici il suffit d'utiliser cette formule :3$f_Y^{[Z=z]}(y)=\frac{f_{(Y,Z)}(x,y)}{f_Z(z)} mais je n'arrive pas à calculer f_{(Y,Z)}(y,z)

quelqu'un aurai un petit coup de pouce à me donner ?

Merci d'avance.

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 14:34

oups, il faut lire :

3$f_Y^{[Z=z]}(y)=\frac{f_{(Y,Z)}(y,z)}{f_Z(z)}

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 14:42

Bonjour Vincent

Qu'appelle-tu f ?

Kaiser

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 14:48

pour moi c'est la densité de la loi...


pour Z, cette densité est défini par rapport à la mesure de comptage...

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 14:55

La loi du couple est complètement caractérisée par la donnée des probabilités \Large{\mathbb{P}(X\leq a, Z=b)} avec a un réel quelconque et b qui vaut 1 ou -1.
Il te suffit donc de calculer ces probabilités.

Kaiser

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 16:12

je ne comprends pas pourquoi, la loi est caractérisée par ce que tu donne.

pourquoi X<=a? ça donne la fonction de répartition non?

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:31

ici, tu voudrais en gros déterminer une densité par rapport à la mesure produit \Large{\lambda \bigotimes m} où \Large{\lambda} est le mesure de Lebesgue et m la mesure de comptage.
ça me parait un peu compliqué (ce qui ne veut pas dire que ça n'est pas faisable). En tous cas, je ne m'aventurerais pas là-dedans : c'est pour cela que j'ai opté pour la fonction de répartition.
En fait, je crois que ce que je proposais n'utilisait pas ta formule car ici, on peut s'en sortir autrement.

En effet, pour calculer la loi de Y sachant Z, étant donné que Z ne prend que les valeurs 1 et -1, il suffit de calculer les probabilités conditionnelles

\Large{\mathbb{P}(X\leq a |Z=1)} et \Large{\mathbb{P}(X\leq a |Z=-1)} et ceux pour tout réel a.

Citation :
je ne comprends pas pourquoi, la loi est caractérisée par ce que tu donne.


Je donnerais l'argument théorique suivant : la loi du couple (X,Z) est définie sur la tribu produit \Large{\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigotimes \mathcal{A}} où \Large{\mathcal{A}} est l'ensemble des parties de {0,1}.
Par définition de la tribu produit, cette tribu est celle engendrée par les pavés \Large{X\times Y} avec X un borélien et Y un élément de \Large{\mathcal{A}}.
Comme tu le sais, il existe un théorème qui dit que si l'on a une tribu engendrée par certains éléments alors une mesure définie sur cette tribu est entièrement déterminée dès qu'on connait sa valeur sur ces générateurs.

Ici, on applique implicitement ce théorème.
Est-ce clair ?

Kaiser

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:40

Citation :
Est-ce clair ?


très clair !

merci pour ces explications, en gros ce qui me manquait c'était que tu ne passait pas par ma formule...

j'essaye et je reviens pour te dire ce qu'il en est...

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:41

OK !

Kaiser

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:51

ah, petit souci :

\Large{\mathbb{P}(X\leq%20a%20|Z=b)=\frac{\mathbb{P}(X\leq%20a%20\cap Z=b)}{P(Z=b)}=P(X\le a)} car X et Z sont indépendants... le problème c'est qu'on arrive à une intégrale incalculable avec la loi normale !

il n'y a pas une erreur?

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:52

ce n'est pas plutot ca qu'il faut calculer?


\Large{\mathbb{P}(XY\leq%20a%20|Z=b)}

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 17:52

\Large{\mathbb{P}(XY\leq%20a%20|Z=b)}

oups j'ai oublié les balises...

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 18:02

ah non autant pour moi :

c'est bien

\Large{\mathbb{P}(ZX\leq%20a%20|Z=b)=\frac{\mathbb{P}(ZX\leq%20a%20\cap%20Z=b)}{P(Z=b)}}

et pour b=1, on a toujours le problème que j'ai cité plus haut

de meme pour b=-1 on a un problème similaire.

comment faire?

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 18:03

oups !

lire :
au temps pour moi

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 18:08

au temps pour moi, c'est bien Y à la place de X.
Sinon, les intégrales en sont pas calculables mais ce n'est pas grave : on cherche simplement à simplifier le plus possible.

Kaiser

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 18:14

ok merci kaiser pour ton aide !

plus de problème pour l'instant..

@+

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 18:15

Mais je t'en prie !

Posté par
stokastikre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 23:38

Le loi N(0,1) étant symétrique autour de 0, la loi de ZX sachant z=1 est aussi N(0,1), ainsi que la loi de ZX sachant z=-1, et par conséquent aussi la loi de ZX.

Posté par
vincprofre : [probas] encore des probas... 22-04-07 à 23:45

Salut stokastik

Citation :
la loi de ZX sachant z=1 est aussi N(0,1)


ça, ok j'avai vu..

Citation :
ainsi que la loi de ZX sachant z=-1


là par contre, je ne vois pas pourquoi la loi de X et la loi de -X serai la meme...

tu peux expliciter?

Posté par
kaiser Moderateurre : [probas] encore des probas... 23-04-07 à 00:03

Citation :
là par contre, je ne vois pas pourquoi la loi de X et la loi de -X serai la meme...


Stokastik étant déconnecté, je me permets de répondre : la densité d'une gaussienne est paire donc lorsque par exemple.
On aboutit alors à \Large{\mathbb{P}(X\leq a)=\mathbb{P}(X\geq -a)=\mathbb{P}(-X\leq a)} (la première égalité s'obtenant à l'aide du changement de variable t=-x dans l'intégrale).

Kaiser


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