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Niveau Prepa (autre)
Probas et médiane de variables à densité
Posté par SylviaM
Bonjour à toutes et tous,
Je vous envoie un message car j'ai des difficultés à faire cet exercice, voici l'énoncé:
1. Pour i ∈ ⟦ 1;13 ⟧ on définit Xi ↪ U[0,1] toutes indépendantes. On définit ensuite M=médiane de l'ensemble des Xi. Et on définit pour x ∈ [0,1] fixé Zx = le nombre de Xi ≤ x.
a) Déterminer la loi de Zx
b) Montrer que ( M ≤ x ) = (Zx=k)
c) Déterminer la fonction de répartition de M.
d) Montrer que M est une variable à densité sans déterminer de densité.
2) Montrer que M admet une espérance et montrer que E(M) = P(M > t) dt. (Indication : on admettra qu'on peut interchanger les deux intégrales en ajustant leurs bornes).
Mes recherches:
1)a) Zx(Ω) = ⟦ 0;13 ⟧. Pour k ∈ Zx(Ω), P(Zx = k) = P( kXi ≤ x) = P ( Xi ≤ ) =
(fonction de répartition loi uniforme sur [0,1])
b)
c) P(M ≤ x) = P( (Zx = k) =
P(Zx = k) (σ-additivité, car on a des événements 2 à 2 incompatibles.) d'où P(M ≤ x) =
= x
.
d) Je peux montrer que cette fonction de répartition est C0 sur R, et C1 sur R sauf en un nombre fini de points.
4)a) E(M) = x
dx =
x
dx
Voilà, j'aimerais savoir si ce que j'ai trouvé est juste ou non, et avoir une piste de réflexion pour la b) où je bloque complètement.
Merci d'avance pour vos réponses.
salut
je ne m'y connais pas trop mais je je ne comprends pas comment tu calcules P(Z = k)
pour ma part j'aurai dit : il faut choisir les k variable X_i parmi les 13 telles que P(X_i 
x)
Pour moi si Zx=k c'est équivalent à dire qu'il y a kXi ≤ x car Z est le nombre de Xi ≤ x. Je ne comprends pas pourquoi ça ne marche pas ?
Pour vous j'aurais plutôt dû écrire P( ≤ x) ?
kX_i <= x est un événement et n'est pas le fait que k variables X_i soient inférieures à x !!
P(Z = k) est la probabilité que k variables X_i soient inférieures à x
donc il suffit de compter classiquement : nombre de cas possibles / nombre de cas total
donc choisir k nombre entre 1 et 13 pour lesquels P(X_i <= x)
D'accord, je comprends.
Mais je ne vois pas comment écrire le nb de cas possible/nb cas total : ce serait / 13 ?
puisque les X_i sont indépendantes je dirai simplement :
je choisis une partie à k éléments de l'ensemble des X_i pour lesquelles Xi x et pour les 13 - k autres Xi on a Xi > x
donc Z suit la loi binomiale de paramètres 13 et x tout simplement ...
Merci. Je comprends maintenant pourquoi Z suit une loi binomiale, mais je ne vois pas comment on trouve que la probabilité de succès est ici x ?
M est la médiane des X_i
donc pour que M < x il suffit qu'au moins la moitié des X_i vérifie X_i < x
et évidemment la moitié de 13 est donc 7 
D'accord !! Il faut que la moitié au moins des Xi soit inférieur à x, donc Z_x doit valoir au minimum 7, mais peut aller jusqu'à 13!
Pour la c), j'utilise la σ-additivité et j'ai donc :
xk(1-x)13-k
J'ai essayé de faire un changement d'indice j=k-7 pour me ramener à un binôme de newton, mais j'ai :
xj+7(1-x)13-(j+7)
Je ne vois pas comment changer le coefficient binomial pour pouvoir écrire la formule de newton...
par définition la fonction de répartition de la variable aléatoire M est la fonction F définie par
or que peut-on dire de cette union ?