Salut,

1) Un mec gagne s'il obtient {1,5} ou {2,6}, ce qui fait 2 cas favorables sur 36 cas possibles, donc une probabilité de gagner de 2/36=1/18.
C'est une "épreuve de Bernoulli" : il n'y a que deux issues : réussir ou échouer, la probablité de réussir étant de 1/18.

La partie dure jusqu'à ce que les deux ont réussi. Y est le "temps d'attente" (en unités de temps) d'obtenir le 2ème succès dans une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/18. La loi géométrique c'est pour le temps d'attente du 1er succès. Pour le 2ème succès, ou le 3ème, etc, il y a une généralisation de la loi géométrique, appelée loi binomiale négative ou peut-être aussi (pas sûr) loi de Pascal.
As-tu vu ces lois ? Sinon il faudra déterminer la loi de Y "à la main".

non il y a 4 cas favorables sur 36 soit 1/9 car les couples marchent dans les 2 sens (1,5) (5,1) (2,6)(6,2).
c'est ce que j'ai essayé de déterminer avec la loi de bernouilli et la loi géométrique, mais je n'y parviens pas à cause des 2 personnes que je n'arrive pas à intégrer dans le problème!

Oui tu as raison c'est 1/9.

Et à part ça, tu as compris ce que je t'ai dit par la suite ?

oui mais si j'essaie de déterminer la loi quand une des 2 personnes y arrive, je ne sais pas si cette personne qui y arrive est la dernière à y arriver ou pas.

et avec la loi géométrique, je dois obtenir ça:
P(X=k)=(1/9)*(8/9)^(k-1)
mais je ne vois pas à quoi peut correspondre k puisque je considère qu'il n'y a que 2 issues.
à moins que ce ne soit X dans [[0,11]] (les différences des 2 dés). mais même là, je ne vois pas comment arriver à ce que je veux.

et avec la loi de bernouilli, j'arrive à:
X=1 quand la différence est de 4, X=0 sinon
P(X=1)=1/9
P(X=0)=8/9
mais je n'obtiens pas de loi générale pour trouver la loi de Y

Essaye de trouver d'abord P(Y=1), P(Y=2), P(Y=3), P(Y=4) pour comprendre comment ça se passe.

Bonjour, ce n'est pas de mon niveau, mais je suis cet exo avec intérêt. Je poste donc mon arbre.

Y = 1  p=1/9

Y=2  p= 1/9 * 8/9

Y=3  p= 1/9 * 8/9 * 8/9 = 1/9 * (8/9)²

Y=n p= 1/9 * (8/9)^(n-1)

1) donc j'obtiens avec la loi géométrique:
P(Y=k)=(1/9)*(8/9)^(k-1) pour une personne
pour les 2, ça change quelque chose?

2) je suppose que j'obtiens quelque chose dans le genre
S=10*(k+k')
k le nb de lancers de la dernière personne à finir,
k' celui de l'autre
ça ne m'avance pas vraiment pour trouver la loi de S
à moins que ce ne soit P(S=i)=f(P(Y=k)) avec f ?

Tu ne lis pas ce que je t'écris ça m'agace. Déjà je t'ai dit ça :

On va se mettre d'accord, on va noter si le premier lancer est réussi, sinon, si le 2ème lancer est réussi, sinon, etc...

Dis-moi à quoi est égale si on a ?

je connais la loi géométrique, celle binomiale et le binome négatif mais pas la loi binomiale négative.
(si je parle des lois géométrique et binomiale, c'est que je les connais )

je ne comprends pas ta question puisqu'on s'arrête quand on obtient (une fois) une différence de 4

je pense que la loi géométrique répond bien à la question sur la loi de Y
P(Y=k)=(1/9)*(2/9)^(k-1)

pour la somme je ne vois pas comment relier cette question à la première.

merci

Tu dis :

Bonjour.
je pose a = le 1er joueur perd, A = il gagne. De même pour le 2ème joueur : b et B

Y = 1 : AB => p(Y=1) = (1/9)²
Y = 2 : AbB ou BaA ou aAbB. p(Y = 2) = (1/9)²[2.(8/9) + (8/9)²]
.
.
Y = n : 2[A + aA + ... + aa..aA](bb..bB) + aa..aA.bb..bB
p(Y = n) = 2[(1/9) + ... + (1/9)(8/9)^n-2](1/9)(8/9)^n-1 + [(1/9)(8/9)^n-1]²

En prenant une somme géométrique dans le premier crochet, je trouve enfin :



Formule qui convient aussi pour n = 1.
En calculant la somme des probabilités, je trouve 1. Ce n'est pas une preuve absolue, mais je pense que c'est le bon résultat.

Bon si quelqu'un se lance dans la solution...

Moi je dirais, pour :

{il y a un succès au n-ième lancer et un (seul) succès avant}.

Choix du succès dans les n-1 premiers lancers : n-1, les autres n-2 lancers ont échoué.

D'où

bonjour,
je note X le nombre de doubles lancers du premier joueur et Z celui de l'autre
Y=sup(X,Z)
Y()=N*
pour k entier non nul (Y=k)=
(X=kZ<k)(X=kZ=k)(X<kZ=k))(i=1àk-1)(1/9)(8/9)^i-1 +[1/9(8/9)^k-1]²

cela devrait donner le même résultat que celui de raymond mais je n'ai pas encore eu le temps de vérifier

Ma formule est correcte pourquoi se compliquer la vie ainsi

c'est bon je trouve exactement la même chose que raymond

Pour n=3 ça ne donne pas le même résultat que moi.

Notre désaccord serait-il sur la compréhension de l'expérience aléatoire ?

Si on attend bien le 2ème succès, c'est moi qui ai raison.

C'est quoi ça :

Il y a un problème chez vous. On a Y=2 au minimum. Avec les notations de raymond,

{Y=2}={AB}

{Y=3}={AbB, aBA}

{Y=4}={AbbB, aBaA, abAB}

Mais comme je l'ai dit il est inutile de distinguer les 2 joueurs. Si on note 1 le succès et 0 l'échec :

{Y=2}={11}

{Y=3}={101, 011}

{Y=4}={1001, 0101, 0011}

Ah pour vous les 2 joueurs lancent les dés simultanément c'est ça ? Pour moi c'était chacun son tour.

Bon pour me racheter je propose une manière de rédiger ça correctement.

On note S le temps d'attente du 1er succès du 1er joueur et T celui du second. S et T suivent des lois géométriques de paramètre 1/9 et sont indépendantes. On a .
La fonction de répartition d'une loi géométrique G de paramètre p est .
On en tire la fonction de répartition de Y :



On peut aussi l'écrire .

Cela caractèrise la loi de Y. Je ne crois pas que ce soit une loi "classique" (qui porte un nom).

Si on veut on fait

Essayons...




Pas très joli je préfère la fonction de répartition.

Ah ouais on développe on obtient la formule de raymond elle n'est pas si méchante.

Bon voilà tout le monde est d'accord

2)


Notons A le temps d'attente du 1er succès du 1er joueur et B celui du second (je ne note plus S et T parce que maintenant il y a un S dans l'énoncé).

Le premier joueur lance A fois les dés et le second les lance B fois. Donc s'ils versent 10€ à chaque lancer tu dois être capable d'écrire la somme obtenue S en fonction de A et de B.

merci beaucoup pour la 1è question, vous êtes super!

2) les 2 joueurs décident de composer une banque, chacun verse 10€ chaque fois qu'il lance les dés.
S la somme réunie à l'issue de la partie.
Quelle est la loi de S? calculer son espérance et sa variance. Quelle est la probabilité que les 2 joueurs versent la même somme.

peut-on calculer P(S=k) ainsi
P(Sk)=10*[P(An)+P(Bn)]    ? (en se rappelant que Y=max(A,B)
je sais que k peut appartenir à [0,10*2n]
le problème c'est que je ne vois pas comment relier k à n.

pour l'espérance et la variance, il n'y a à priori pas de problème.

la probabilité que les 2joueurs versent la même somme, c'est bien P(S=10*2*n) soit P(S=20n) ?

3)on suppose S=10n €, n2. on note alors S la somme versée par le 1er joueur A1. Quelle est la loi de x?

Arf non. Tu peux donner une relation entre S en fonction de A et B, avant de donner une relation entre leur loi.

Et il faut vraiment que tu te rendes comptes que ta formule n'est vraiment pas possible. Une probabilité est toujours entre 0 et 1, le terme de droite peut varier de 0 à 20....

Je rappelle qu'on note A le temps d'attente du 1er succès du 1er joueur et B celui du second, ils versent 10€ à chaque lancer, la somme obtenue S est donc S=10*A+A0*B=10*(A+B).

On sait que A et B sont des variables aléatoire de même loi : géométrique de paramètre 1/9. Saurais-tu me dire quelle est la loi de A+B ?

désolé j'ai fait des erreurs vraiment stupides.

cas général: P[X+Y=k]=(P(X=i[smb/]grandinter[/smb]Y=k-i) (somme de k=0 à n)
comme A et B sont indépendants
P(A+B=k)=(P(A=i)*P(B=k-i) (somme de k=1 à n)

Ok ce sont des formules de cours qui sont des généralités sur la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.
Ensuite tu arrives à simplifier ce que ça donne pour pour P(A+B=k) ?

P(A=i)=P(Ai)-P(Ai-1)=1-(1-1/9)^(i-1)+(1-1/9)^(i-1)=(-8/9+1)*(8/9)^(i-1)
P(A=i)=(1/9)*(8/9)^(i-1)

P(B=k-i)=(1/9)*(8/9)^(k-i-1)

P(A+B=k)=(1/9)*(8/9)^(i-1)*(1/9)*(8/9)^(k-i-1)
=(1/81)*(8/9)^(i-1)*(8/9)^(k-i-1)
=(1/81)*(8/9)^(k-2)
=n*(1/81)*(8/9)^(k-2)

sauf erreur

P(A=i)=P(Ai)-P(Ai-1)=1-(1-1/9)^(i-1)-1+(1-1/9)^(i-1)

zut c'était somme des k et pas des i, je reprends:
P(A+B=k)==(1/81)*(8/9)^(k-2)
=(1/81)*(1-(8/9)^(k-1))/(1-8/9)
=(1/81)*(1-(8/9)^(k-1))/(1/9)
=(1/9)*(1-(8/9)^(k-1))

désolée de réapparaitre si tard mais j'ai de gros problème de connexion
(A+B=k)=(_{de i=1 àk-1)}(A=ib=k-i)
     donc p(A+B=k)=_{de i=1 à k-1}p(A=i)p(B=k-i)=
_i=1àk-1)(1/81)(8/9)^k-2=(k-1)(1/81)(8/9)²

c'est i qui varie et i varie de1 à k-1 chaque joueur fait au moins un lancer de deux dés et au plus k-1

si S=A+B    S()=N*-{1} on a k2
   (k2)p(S=k)=(1/81)k2[1/81(k-1)(8/9)^k-2
=(1/81)(1/(1-89)²=1
donc je n'ai pas du faire d'erreur enfin j'espère!

si je vois une faute de frappe à l'avant dernière ligne c'est 1-8/9 pas 1-89