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Niveau autre
probas et variables aléatoires
Posté par Haribo (invité)
Bonjour, voici l'énoncé d'un exercice :
On choisit la 1ère lettre au hasard entre A et B. En suite, si l'on a tiré la lettre A, on la fait suivre d'un B, et si l'on a tiré B, on tire au sort (avec équiprobabilit") la lettre suivante entre A et B.
1. Ecrire un programme en Turbo Pascal qui rélaise le processus précédent,le nombre n de coups étant choisi par l'utilisateur.
OK
2. On note ap [resp.bp] la probabilité d'obtenir A [resp.B] au p-ième tirage.
a) Exprimer a(p+1) et b(p+1) en fonction de ap et bp.
a(p+1) = 0.5 bp
b(p+1)= 0.5bp+ap (quasiment d'après l'énoncé, il suffit de faire un arbre pour s'en apercevoir)
b)Exprimer ap et bp en fonction de p
On a b(p+1)= 0.5bp+0.5b(p-1)
D'après un théorème sur les suites linéaires on en déduit une expression de bp en foncton de p puis une expression de ap car ap=0.5 b(p-1) pour p supérieur ou égal à 2 et a1=0.5 d'après l'énoncé.
c) Trouver la probabilité de n'obtenir que des B
Soit n le nombre de tirage.
P(on obtient que des B au cours de ces n tirages) =(0.5)^n
3. Soit X le rang de la première lettre imprimée (sortie ??). Trouver la loi de X, son espérance et sa variance.
P(X=k)= P(on obtient que des B au cours des k-1 1ers tirages)*P(on tire un A sachant que l'on vient de tirer un B) = (0.5)^(k-1)*(0.5) = 0.5^k
E(X) par un calcul de série donne 2, E(X^2) donne 6 et donc V(X)= 6-4 =2
4. Soit Y(n) [resp.Zn] le nombre de lettres A sorties au cours des n premiers tirages.
a) Trouver l'espérance et la variance de Zn en fonction de celles de Y(n)
Yn+Zn =n => E(Yn)+ E(Zn)=n (on utilise la linéarité de E)
=> E(Zn) = n- E(Zn)
D'autre part : Yn+Zn=n => V(Yn+Zn) = 0 => V(Yn)+ V(Zn)+2cov(Yn,Zn)=0
b) Déterminer Yn(omega)
Yn(omega)= ent((n+1)/2) ?
c) Déterminer la loi de Yn
Voilà je pense que juste les 3 1ères questions mes démarches sont correctes (sauf peut-être un erreur d'interpréation à la question 3 ?). Dans le cas contraire n'hésiez pas à m'en faire part.
Comme vous pouvez le voir, j'ai plus de souci avec la question 4.
La question a) devrait nous permettre de répondre à la question c (bien que je n'en sois pas sur).
Je pense que justement dans cette question a, je suis parti dans une mauvaise piste (la covariance est génante car Yn et Zn ne semble pasindépendante).
Des idées?
Posté par Haribo (invité)re : probas et variables aléatoires
On choisit la 1ère lettre au hasard entre A et B. En suite, si l'on a tiré la lettre A, on la fait suivre d'un B, et si l'on a tiré B, on tire au sort (avec équiprobabilit") la lettre suivante entre A et B.
4. Soit Y(n) [resp.Zn] le nombre de lettres A sorties au cours des n premiers tirages.
a) Trouver l'espérance et la variance de Zn en fonction de celles de Y(n)
b) Déterminer Yn(omega)
c) Déterminer la loi de Yn
C'est mieux comme ça ?
bonsoir,
question 2) pour bpje trouve :[1-(-1/2)p]/3
question 3) je ne comprends pas bien le texte
question 4) d'accord pour les espérances (si je ne me suis pas trompée j'ai calculé E(Zn) et je trouve[3n+1-(-1/2)n/9 mais on ne la demande pas)
je réfléchis pour les variances
b)Yn(
)=[0,E[(n+1)/2])
c)j'ai essayé directement
pour calculer P(Yn=1) pour n>1 il faut déjà distinguer deux cas suivant que A sort au rang n
aprés (n-1)B ou s'il ne sort pas en dernier et la probabilité du B suivant est alors 1 ce qui me donne
p(Yn=1)=(1/2)n+(n-11)(1/2)n-1 à vérifier
je vais y réfléchir ,peut être que quelqu'un aura une idée
bonjour,
Yn=n-Zn
donc E(ynn=n-E(Zn)
donc E(Yn)²=n²-2nE(Zn)+E(Zn)²(1)
Yn²=n²-2nZn+Zn²
donc E(Yn²)=n²-2nE(Zn)+E(Zn²) (2)
donc V(Yn)=E(Yn²)-E(Yn)²= (2)-(1)
V(Yn)=V(Zn) sauf erreur de ma part
Posté par Haribo (invité)re : probas et variables aléatoires
OK merci. Pour la dernière question, je vais essayer de résoudre le système, en passant par la définition de la variance et de la covariance.
bonjour,
pour quelle question?le c)de la question 4?je ne comprends pas ce que tu veux faire
si A est sorti au rang k sa prochaine sortie ne peut avoir lieu qu'au rang k+2+r avec r entier naturel(si k+2+r
n)
Bonjour
pour la question 3, je comprends X=1 si la première lettre imprimée est A, et X=2 si c'est B, non ?
bonjour lafol,
j'avais bien pensé à cette interprétation pour la 3)mais ça me paraissait un peu simple surtout en question 3)
je n'ai pas encore eu le temps de chercher sérieusement la dernière mais je ne comprends pas de quel système parle Haribo
Posté par Haribo (invité)re : probas et variables aléatoires
Bonjour, pour la question 3, j'ai oublié quelquechose de crucial:
la question est : Soit X le rang de la première lettre A imprimée. Trouver la loi de X, son espérance et sa variance.
Sinon pour répondre à veleda j'ai pensé utiliser le fait que
V(Xn)= (somme de i allant de 1 à n))p(X=xi)(xi-E(xn))^2 (c'est la défintion de la variance)
E(Xn)= (somme de i allant de 1 à n) p(X=xi)xi (défintion de l'espérance)
V(Yn)=(somme de i allant de 1 à n))p(Y=yi)(yi-E(Yn))^2
E(Xn)=(somme de i allant de 1 à n) p(X=xi)yi
sachant qu'on a E(xn)= E(Yn), V(Yn)=V(Xn) et yi=xi -n
Posté par Haribo (invité)re : probas et variables aléatoires
E(Yn)= (somme de i allant de 1 à n) p(Y=yi)yi dsl
pour le3) maintenant je comprends c'est donc ton interprétation qui convient P(X=k)=(1/2)k pour k
1
quelle hypothése sur le nombre de tirages dans cette question?
si l'on demande l'espérance de X pour n tirages il devrait y avoir des n dans son expression
(tu as fait tendre n vers +OO l'expression est moins sympathique pour n )
je ne vois pas comment des dernières relations écrites tu vas pouvoir exprimer P(Yn=k)
j'avais essayer d'utiliser:
(Yn=k)=((Yn-1=k)
Bn)
(Yn-1=k-1)An)
mais ça n'a rien donné de simple
je vais essayer d'utiliser la3) maintenant que j'ai compris le texte