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Niveau autre
[probas] loi de X+Y
Posté par vincprof
bonjour,
j'ai un souci sur cet exo :
soient X et Y deus v.a.r. indépendantes.
Mq si X suit une loi gamma G(a,p) et si Y suit une loi gamma G(a,q) alors X+Y suit une loi gamma G(a,p+q)
ça fait plusieur fois que je rencontre ce type d'exo mais je n'arrive jamais a savoir comment il faut partir pour exprimer la loi de X+Y...
un petit tuyau serai le bienvenu...
merci d'avance...
re vincprof
Pour faire ce genre de choses, on a plusieurs manières, plus ou moins efficaces.
On peut prendre par exemple, une fonction continue bornée f et calculer .
On peut aussi passer par les fonctions caractéristiques.
Kaiser
re kaiser !
la série d'exo porte sur les fonction caractéristiques... je vais donc passer par là...
j'y travaille et je reviens...
Salut Cauchy
oui, c'est effectivement un produit de convolution. Le problème est que pour passer par cette méthode, je crois qu'il faudrait connaitre la fameuse relation qu'il existe entre la fonction gamma et la fonction Beta, si ça te dit quelque chose.
Kaiser
maintenant, tu me diras : passer par les fonctions caractéristiques utilise un résultat beaucoup moins trivial ! 
Kaiser
et ça tombe tout seul...
par contre cette histoire de produit de convolution m'intéresse, donc si vous pouviez m'en parler un peu plus, ça serai sympa...
si f et g sont des fonctions de à valeurs complexes, dès que cela à un sens, on définit la convolée de f par g et on note
la fonction définit par :
par exemple, si f et g sont toutes les deux intégrables, alors on peut définir cette convolée.
si l'on dispose de deux variables aléatoires réelles indépendantes X et Y à densités f et g, alors X+Y est aussi une loi à densité et sa densité est
Ce résultat reste valable si l'on a des vecteurs aléatoires.
Kaiser
P.S : on suppose connue la fonction caractéristique d'une loi gamma ou bien faut-il la recalculer ?
Citation :
par contre cette histoire de produit de convolution m'intéresse, donc si vous pouviez m'en parler un peu plus, ça serai sympa...
par contre cette histoire de produit de convolution m'intéresse, donc si vous pouviez m'en parler un peu plus, ça serai sympa...
Soient X et Y des v.a. indépendantes de fonctions de répartition F et G respectivement.
Déterminons la fonction de répartition H de X+Y.
On a H(t)=P(X+Y<t)=P(X<t-Y).
On conditionne par Y pour le considérer comme fixé : P(X<t-Y | Y)=F(t-Y).
Maintenant on prend l'espérance :
Quand Y a une densité g cela s'écrit
merci à vous deux...
je pense avoir compris la convolution (ce n'est pas au programme de L3, non?)
les fonctions caractéristiques sont supposées connues (a l'exam, on aura le droit à un tableau des loi usuelles avec l'espérance , la variance et la fonction caractéristique de chaque loi..)
j'ai encore une petite question :
soient des var indépendantes suivant tout la meme loi normale N(0,1)
déterminer la loi de .
on sais alors que sont indépendantes donc
par contre la determination de me pose problème : je n'ai aucun résultat sur la composition dans le cours sur les fonctions caractéristiques... il ne faut pas passer par là?
Je pense qu'il faut utiliser la question d'avant.
Il faut d'abord voir quelle loi suit X² si X suit une loi N(0,1). Pour ça, le coup des fonctions caractéristiques risque de ne pas marcher.
Il faudrait donc prendre une fonction continue bornée f et calculer
Kaiser
euh, là je ne te suis pas...pourquoi tu veux calculer ?
pour connaitre la loi de X^2, je serai tenté de passer soit par la formule des changement de variable soit par la fonction de répartition...
je ne connait pas ce que tu veux utiliser..
tu pourrait expliciter?
ok en fait, cela revien exactement à la meme chose que la "méthode" que j'appelle formule de changement de variable...
donc du coup je pense que je vais y arriver...
Merci pour toutes ces infos.
Bonne soirée..