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Niveau autre
[probas] loi gaussienne multidimensionnelle
Posté par vincprof
Bonjour, me revoilà avec encore un exo sur les probas :
soit un vecteur gaussien de loi
. On pose
1) donner les loi de ,
,
2) quelle est la loi de ?
pour la question 1, j'aurai bien voulu passer par les fonctions caractéristiques mais on ne sais pas si les sont indépendants... donc je pense qu'il faut passer par les loi marginale de X mais je ne sais pas comment les calculer dans le cas des vecteurs gaussiens... et après je ne vois vraiment pas...
pour la 2, on peut réécrire le système sous cette forme :
avec
mais après, je ne sais pas quoi en faire...
Merci d'avance pour vos réponses..
Autre chose : tu dis que l'on ne sait pas si les sont indépendantes.
Moi je dis que si (il suffit de jeter un oeil à la matrice de convariance de X et de se souvenir d'un résultat du cours).
Kaiser
les U_i sont des vecteurs gaussiens?
bon là je vais devoir y aller mais je pense revenir d'ici 1h... donc je te donnerai à ce moment l'avancement du travail...
salut kaiser,
désolé pour le retard !
il me semble que les sont des Gaussienne N(0,1) non? je crois que c'est un lemme de mon cours. (mais cela me parait bizarre que ca ne dépende pas de A...
et les sont indépendantes car la matrice des covariances est diagonale, non?
donc pour les lois des il faut passer par les fonctions caractéristiques, non?
Salut vincprof
Pas de problème ! 
Les sont certes des gaussiennes mais pas forcément réduites. Ce sont des gaussiennes car ce sont des combinaisons linéaires de composantes d'un vecteur gaussien.
Du coup, ça va dépendre des coefficients de la matrice A.
Citation :
et les
sont indépendantes car la matrice des covariances est diagonale, non?
et les
oui !
Citation :
donc pour les lois des il faut passer par les fonctions caractéristiques, non?
donc pour les lois des
des
Dans ce cas, non : tu sais que ce sont des gaussiennes donc il te suffit de calculer leur espérance et leur variance.
Kaiser
Citation :
citation :
et les sont indépendantes car la matrice des covariances est diagonale, non?
oui !
citation :
et les
oui !
je pense que tu le sais mais je voulais tout de même préciser une chose !
ceci est vrai parce que l'on a affaire à un vecteur gaussien !
ce résultat est faux en général si c'était un vecteur aléatoire quelconque.
Kaiser
oui, en effet. je viens de le lire dans le cours... (même si ca semble plutôt évident...)
Euh, effectivement je parlais des . je vais calculer ça dans la soirée...(j'ai un gros rapport à rédiger en meme temps !)
et une fois qu'on à ces lois, comment on peut calculer la loi de ?
c'est aussi un vecteur gaussien car comme tu l'as remarqué U=AX avec A une matrice donc il suffit de calculer le vecteur des espérances et sa matrice de covariance.
Kaiser
Merci pour ton aide Kaiser !
je pense que je devrai pouvoir me débrouiller maintenant.
Bonne soirée.
Ps : tu peux m'appeller Vincent...