Tu pourrais effectivement travailler en vecteurs en exprimant le vecteur AP en fonction des vecteurs AM et AN afin de parvenir, après quelques manipulations, à exprimer le vecteur AP en fonction du vecteur BC.

Je me demandais si cela était possible car pour moi AP = 1/2 AN + 1/2 AM et que BC ne peut pas être calculé en fonction de ces deux vecteurs donc on ne peut trouver aucune correspondance entre les droites

Tu peux remplacer les vecteurs AN et AM par les vecteurs BJ et IC qui leurs sont égaux.

Serais-ce possible d'utiliser une propriété par rapport aux triangles et parallélogrammes contenus dans la figure ?

As-tu essayé de faire ce que je t'ai suggéré à 12h39 ?

J'ai seulement trouvé que:
AP = 1/2 AM + 1/2 AN
   = 1/2 BJ + 1/2 IC
    

BC = BJ + AJ

Je n'ai pas vraiment beaucoup de bases au niveau du calcul de vecteurs

Après la deuxième ligne, décompose selon Chasles les vecteurs BJ et IC pour faire intervenir les points C et B respectivement. Puis manipule le résultat afin qu'il n'y reste que le vecteur BC.

AP = 1/2 BJ + 1/2 IC
   = 1/2 BC + 1/2 CJ + 1/2 IB + 1/2 BC
   = BC + 1/2 IB + 1/2 CJ   ?
  

Maintenant, remplace le vecteur IB et par son expression en fonction du vecteur AB, et procède de façon analogue pour le vecteur CJ (regarde la figure).

= BC + 1/4 AB + 1/4 CA ?

Oui. Réduis maintenant cette expression.

= BC + 1/4 CA + 1/4 AB
= BC + 1/4 CB
= BC - 1/4 BC
= 3/4 BC

AP et BC sont donc parallèles

CQFD

Merci beaucoup