Niveau Maths sup

Problème

Posté par
alexis0587 24-01-06 à 15:59

Montrer que f(x)=1/x est continue en revenant à la définition de la continuité?

Posté par philoux (invité)re : Problème 24-01-06 à 16:00

1/x continue où ? non définie en x=0

Philoux

Posté par Excuse je suis nouveau 24-01-06 à 16:02

Continue pour tout x appartient à ]O;1].
Merci par avance

Posté par V_com_vic (invité)re : Problème 24-01-06 à 16:04

Bonjour, il ne sufit pas de dire qu'elle est continue, il faut dire sur quel intervalle... Quant à la définition de la continuité, il te faudra surement faire appel à la dérivabilité: une fonction est continue sur tel intervalle si elle y est dérivable...

Posté par Re Problème 24-01-06 à 16:23

Oui mais pour cet exercice il faut appliquer la définition de la continuité et non la dérivabilité.
En fait il faut trouver
qui vérifie x]O;1],>0,>0,y]O;1], |x-y|<|f(x)-f(y)|<
Merci par avance pour ttes réponses
Alexis

Posté par re : Problème 24-01-06 à 17:38

$x$ et $\vareps$ sont fixés.

On prend :
a) $\delta < \frac{1}{2}\vareps x^2$
et
b) $\delta < \frac{x}{2}$ ; alors $y>\frac{x}{2}$ si $|x-y|<\delta$
c'est-à-dire $\fbox{\delta<\min(\frac{1}{2}\vareps x^2;\frac{x}{2})}$

Soit $y$ tel que $|x-y|<\delta$ :
$|f(x)-f(y)|=\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right]=\frac{|y-x|}{xy}<\frac{\delta}{xy}<\frac{\frac{1}{2}\vareps x^2}{x.\frac{x}{2}}=\vareps$

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par Re Problème 24-01-06 à 18:08

Merci,
Je saisi jusqu'à |f(x)-f(y)|<delta/(xy)
Mais comment en arrives tu a poser delta < x/2 et delta < (x²/2)epsilon
Merci par avance pour ta réponse.
Alexis

Posté par re : Problème 25-01-06 à 08:29

Bonjour,

C'est le jeu habituel.
Il faut choisir $\delta$ ... pour que ça marche !

Concrètement, j'ai écrit au brouillon :
$|f(x)-f(y)|=\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right]=\frac{|y-x|}{xy}$
On veut majorer tout cela par $\vareps$ .

a) Il faut donc majorer le numérateur. C'est facile, car le numérateur est $<\delta$ . On choisit donc dans un premier temps $\delta<\vareps$

b) Il faut minorer le dénominateur. On ne peut agir que sur $y$ , puisque $x$ est fixé. Comme $x>0$ , la solution raisonnable qui vient en tête est de prendre $y>x/2$ , donc $|y-x|<x/2$ . Il suffit de prendre $\fbox{\delta<x/2}$

c) A partir de ce moment, on a :
$|f(x)-f(y)|=\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right]=\frac{|y-x|}{xy}<\frac{\delta}{xy}<\frac{\vareps}{x.\frac{x}{2}}$
Or on veut majorer par $\vareps$

d) Il suffit donc de remplacer le $\delta<\vareps$ de a) par :
$\fbox{\delta<\frac{1}{2}\vareps x^2}$
On a alors bien :
$|f(x)-f(y)|=\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right]=\frac{|y-x|}{xy}<\frac{\delta}{xy}<\frac{\frac{1}{2}\vareps x^2}{x.\frac{x}{2}}=\vareps$

En rédigeant au propre, j'écris $\fbox{\delta<\min(\frac{1}{2}\vareps x^2;\frac{x}{2})}$ en le sortant de mon chapeau.

En espérant avoir été clair,

Nicolas

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